Stała grawitacji

Stała grawitacji (oznaczenie: G) – stała fizyczna służąca do opisu pola grawitacyjnego. Jako pierwszy wyznaczył ją Henry Cavendish^[1], używając do tego wagi skręceń (eksperyment Cavendisha). Obecnie używana wartość została opublikowana w 2018 roku przez Komitet Danych dla Nauki i Techniki (CODATA) i wynosi^[2]:

${\displaystyle G=6{,}67430(15)\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} ,}$

gdzie: s – sekunda, m – metr, kg – kilogram.

W astronomii użytecznie jest wyrazić stałą grawitacji jako:

${\displaystyle G=4{,}3\cdot 10^{-3}\operatorname {\frac {pc}{M_{\odot }}} \left(\operatorname {\frac {km}{s}} \right)^{2},}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {M} _{\odot }}$ to masa Słońca, zaś pc – parsek.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona, dwa ciała punktowe (tzn. takie, że ich wzajemna odległość jest większa od ich własnych rozmiarów) o masach ${\displaystyle m_{1}}$ i ${\displaystyle m_{2},}$ odległe o ${\displaystyle r,}$ działają na siebie z siłą, której wartość wynosi:

${\displaystyle F=G\,{\frac {m_{1}\,m_{2}}{r^{2}}}.}$

Wzór ten można stosować również dla ciał o symetrii sferycznej. Wówczas ${\displaystyle r}$ oznacza odległość pomiędzy środkami tych ciał.

W fizyce kwantowej

Dla elektronów oddziaływanie grawitacyjne można uważać za egzotyczne ultrasłabe kulombowskie przyciągające oddziaływanie elektromagnetyczne (elektrostatyczne) 20. rzędu w stałej struktury subtelnej ${\displaystyle \alpha .}$ Jak łatwo sprawdzić, zachodzi związek, który to wyraża^[3]

${\displaystyle G={\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2}}}}{\frac {\hbar c}{m_{e}^{2}}}\alpha ^{21}=1{,}30923\cdot {\frac {\hbar c}{m_{e}^{2}}}\alpha ^{21}=6{,}67433\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} ,}$

lub inaczej wprost

${\displaystyle {\frac {Gm_{e}^{2}}{r^{2}}}={\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2}}}}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\alpha ^{20},}$

definiujący też tzw. silną stałą grawitacji dla elektronu

${\displaystyle G_{s}={\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2}}}}{\frac {\hbar c}{m_{e}^{2}}}=4{,}98811\cdot 10^{34}\operatorname {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} .}$

Kładąc ${\displaystyle r={\bar {\lambda }}_{C},}$ gdzie ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{C}=\lambda _{C}/2\pi }$ jest zredukowaną komptonowską długoscią fali, i przepisując równość w języku energii

${\displaystyle {\frac {Gm_{e}^{2}}{{\bar {\lambda }}_{C}}}={\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2}}}}{\frac {\hbar c}{{\bar {\lambda }}_{C}}}\alpha ^{21},}$

otrzymujemy energię grawitacyjną oddziaływania dwóch elektronów względem nieskończoności w odległości równej zredukowanej komptonowskiej długości fali w postaci poprawki promienistej typu przesunięcia Lamba w elektrodynamice kwantowej jako

${\displaystyle E_{G}({\bar {\lambda }}_{C})=-{\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2}}}}\alpha ^{21}m_{e}c^{2},}$

tzn. względem energii spoczynkowej elektronu.

Wynik ten można otrzymać w ramach kwantowej teorii cząstek elementarnych w teorii wszechświata pięciowymiarowego^[4]. Daje ona odwrócone spektrum Rydberga cząstek elementarnych o masach ${\displaystyle m_{n}}$

${\displaystyle G={\frac {1}{2n^{2}}}{\frac {\hbar c}{m_{n}^{2}}},}$

tzn. dla elektronu jako bardzo niskoenergetycznego wzbudzenia próżni

${\displaystyle n\approx \left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\frac {21}{2}}{\sqrt {\frac {3{\sqrt[{38}]{2}}}{8}}}\approx 16894315429949215866880.}$

Podobne, choć trochę odchylone od wartości CODATA i bardziej skomplikowane, wyrażenie znaleziono też z prostych rozważań geometrycznych jako^[5]:

${\displaystyle G=4\pi ^{2}\alpha ^{2}e^{-{\frac {1}{{\sqrt {2}}\alpha }}}{\frac {\hbar c}{m_{e}^{2}}}=6{,}6202087\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} ,}$

ustanawiające równanie nieliniowe na przybliżoną wartość stałej struktury subtelnej:

${\displaystyle {\frac {1}{3{\sqrt[{38}]{2}}}}\alpha ^{19}=\pi ^{2}e^{-{\frac {1}{{\sqrt {2}}\alpha }}}}$

dające rozwiązanie: ${\displaystyle \alpha =1/137{,}021676}$ wobec wartości CODATA ${\displaystyle \alpha =1/137{,}035999.}$

Można też zauważyć, że z bardzo dobrym przybliżeniem

${\displaystyle G={\frac {\varphi ^{2}}{2}}{\frac {\hbar c}{m_{e}^{2}}}\alpha ^{21}=6{,}67323\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} .}$

gdzie ${\displaystyle \phi }$ to tzw. złota liczba. Wzór ten może być jeszcze poprawiony do perfekcyjnej wartości CODATA przez minimalnie podwyższający czynnik kolimujący z długim lecz bardzo łatwym do zapamiętania "odliczającym" ułamkiem ${\displaystyle 2^{1/4321}}$

${\displaystyle G=2^{1/4321}{\frac {\varphi ^{2}}{2}}{\frac {\hbar c}{m_{e}^{2}}}\alpha ^{21}=6{,}67430\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} .}$

Przypisy