Wzór Bineta

Ten artykuł dotyczy wzoru na tor w polu sił centralnych. Zobacz też: Wzór Bineta na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego.

Ten artykuł od 2018-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Wzór Bineta – wzór na tor ruchu w polu sił centralnych.

Ma postać:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}=-{\frac {mr^{2}}{L^{2}}}F(r),}$

gdzie:

${\displaystyle L}$ – moment pędu,

${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \phi }$ – współrzędne biegunowe,

${\displaystyle m}$ – masa,

${\displaystyle F(r)}$ – siła w zależności od odległości.

Wyprowadzenie

We współrzędnych biegunowych:

${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {e_{r}}} }$

oraz:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\frac {dr}{dt}}\mathbf {\hat {e_{r}}} +r{\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {\hat {e_{\phi }}} }$

Korzystając z reguły łańcuchowej otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!r}{\operatorname {d} \!t}}={\frac {\operatorname {d} \!r}{\operatorname {d} \!\phi }}\cdot {\frac {\operatorname {d} \!\phi }{\operatorname {d} \!t}}}$

oraz wiemy, że moment pędu w polu centralnym jest zachowany i równy:

${\displaystyle L=mr^{2}{\frac {\operatorname {d} \!\phi }{\operatorname {d} \!t}}}$

Zatem stosując powyższe wzory i pochodną odwrotności otrzymujemy:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\frac {L}{m}}\left[-{\frac {d}{d\phi }}\left({\frac {1}{r}}\right)\mathbf {\hat {e_{r}}} +{\frac {1}{r}}\mathbf {\hat {e_{\phi }}} \right]}$

Różniczkując drugi raz i stosując podobne przekształcenia otrzymujemy:

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left({\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}\right)\mathbf {\hat {e_{r}}} }$

Widzimy, że zgodnie z naszymi oczekiwaniami człon zależny od wersora φ został wyzerowany. A zatem po zastosowaniu II Zasady Dynamiki Newtona dochodzimy do końcowego wzoru:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}=-{\frac {mr^{2}}{L^{2}}}F(r)}$

gdzie siłę F wyrażamy następująco:

${\displaystyle \mathbf {F} =F(r)\mathbf {\hat {e_{r}}} .}$

Bibliografia

• http://www.fuw.edu.pl/~krolikow/fizyka1/v4_ruch_polach_zachowawczych.pdf
• YAN Kun(2005). The general expression of Binet equation about celestial bodies motion orbits(Approximate solutions of Binet equation for celestial bodies motion orbits in the weak and strong gravitational field) DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2005.02.052.