Podsilnia

Podsilnia – liczba tzw. nieporządków zbioru skończonego, gdzie „nieporządkiem” nazywa się każdą permutację bez punktów stałych wspomnianego zbioru^[1][2]. Po raz pierwszy wzory opisujące nieporządki pojawiają się w pracach Eulera i Bernoulliego; podsilnia z nieujemnej liczby całkowitej jest równa permanentowi macierzy z zerami na głównej przekątnej i jedynkami poza nią stopnia równego wspomnianej liczbie.

W przypadku zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego, gdzie ${\displaystyle n}$ jest nieujemną liczbą całkowitą podsilnia ${\displaystyle !n}$ oznacza więc liczbę takich rozmieszczeń ${\displaystyle n}$ piłeczek, z których każda przypisana jest do jednej z ${\displaystyle n}$ urn, że żadna z piłeczek nie trafiła do „swojej” urny. Podsilnia dla liczb ${\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5}$ wynosi odpowiednio ${\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 9,\ 44;}$ przy czym funkcja ta rośnie w podobnym tempie do silni, np. ${\displaystyle !21=18\,795\,307\,255\,050\,944\,540}$^[3] Liczba ${\displaystyle 148\,349}$ jest jedyną liczbą, która jest równa sumie podsilni swoich cyfr: ${\displaystyle 148\,349=\,!1\,+\,!4\,+\,!8\,+\,!3\,+\,!4\,+\,!9.}$

Definicja

Podsilnię definiuje się rekurencyjnie jako funkcję ${\displaystyle !n}$ zbioru nieujemnych liczb całkowitych w siebie, która spełnia

${\displaystyle {\begin{cases}!0=1,\\!n=n{\big (}!(n-1){\big )}+(-1)^{n},\\!(n+1)=n{\big (}!n+!(n-1){\big )};\end{cases}}}$

bądź po derekursywacji, za pomocą wzoru

${\displaystyle !n=n!{\big (}1-{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}-{\tfrac {1}{3!}}+\dots +(-1)^{n}{\tfrac {1}{n!}}{\big )},}$

gdzie ${\displaystyle n!}$ oznacza zwykłą silnię.

Zobacz też

• permutacja
• symbol Newtona
• wariacja bez powtórzeń

Przypisy