Funkcja von Mangoldta

Funkcja von Mangoldta jest funkcją arytmetyczną wykorzystywaną w teorii liczb. Jest przykładem ważnej funkcji, która nie jest ani multiplikatywna, ani addytywna^[1].

Definicja

Funkcja von Mangoldta, oznaczana przez ${\displaystyle \Lambda (n),}$ jest zdefiniowana jako

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,\quad &n=p^{k}\quad (k\in \mathbb {N} ),\\0,\quad &n\neq p^{k},\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle p}$ oznacza dowolną liczbę pierwszą, a ${\displaystyle \log }$ – logarytm naturalny.

Równoważnie, korzystając z odwracania Möbiusa i równości

${\displaystyle \log n=\sum _{d|n}\Lambda (d),}$

możemy zdefiniować funkcję von Mangoldta jako

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d|n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle \mu }$ oznacza funkcję Möbiusa.

Przypisy