独立増分過程

加法過程（かほうかてい、英: additive process）または独立増分過程（どくりつぞうぶんかてい、英: independent increments process）とは、確率過程の一種であり、独立増分性によって特徴付けられる。ポール・ピエール・レヴィ(Paul Pierre Lévy)、アレクサンドル・ヒンチンなどによって詳しく調べられた。代表的かつ典型的な加法過程の例として、ウィーナー過程(ブラウン運動)がある。

定義

加法過程

確率空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ で定義された $\mathbb {R} ^{d}$ -値確率過程 $X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ が加法過程であるとは次の条件をみたすときをいう:

$X_{0}=0$ 　a.s.
任意の $t\geq 0,\varepsilon >0$ に対して、 $\lim _{h\to 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0$ .
$P(\Omega _{0})=1$ を満たす $\Omega _{0}\in {\mathcal {F}}$ が存在して、任意の $\omega \in \Omega _{0}$ に対して $X_{t}(\omega ):t\mapsto X_{t}(\omega )$ は右連続かつ左極限をもつ。
任意の $n=1,2,\ldots$ と $0\leq t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}<\infty$ に対して、 $X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ は独立。

2. を確率連続性、3. をcàdlàg性、4. を独立増分性という。

レヴィ過程

確率過程 $X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ がレヴィ過程であるとは、加法過程であって次の条件をみたすときをいう:

任意の $s\geq 0$ に対して、 $X_{t+s}-X_{t}$ の分布は $t$ には依存しない。

この条件を時間的一様性(time homogeneity)、または定常増分性という。

参考文献

A.Khintchine, A new derivation of a formula by. P. Lévy, Bull. Moscow Gov. Univ. 1, No. 1, 1-5.
P.Lévy. Sur les intégrales dont les éléments sont des variables aléatoires indépendentes, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) 3, 337-366.(PDF-files)

確率論

確率の歴史

確率の定義

客観確率	統計的確率古典的確率公理的確率
主観確率	ベイズ確率
確率の拡張	外確率負の確率

基礎概念

モデル	試行結果事象標本空間確率測度確率空間
確率変数	確率変数の収束
確率分布	離散確率分布連続確率分布同時分布周辺分布条件付き確率分布独立同分布
関数	確率質量関数確率密度関数累積分布関数特性関数
用語	独立期待値モーメント条件付き確率条件付き期待値