ラプラス原理

ラプラス原理（ラプラスげんり、英: Laplace principle, Laplace's principle）は大偏差原理（英語版）に関する理論の基本的な定理である。ラプラス原理を一般化したものとしてヴァラダンの補題（英語版）がある。ラプラス原理は、固定された集合 A 上の exp(−θφ(x)) のルベーグ積分が、θ を大きくしていったときにどのような漸近的な振る舞いを見せるかについて述べる。実際の例としては、統計力学において逆温度を無限大する極限、すなわち温度が絶対零度に近づくとき、その系がどのように振る舞うかを議論する際に、ラプラス原理が用いられている。

ステートメント

A をルベーグ可測な d 次元のユークリッド空間 R^d の部分集合とし、可測関数 φ : R^d → R について

${\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,\mathrm {d} x<+\infty }$

であるとする。このとき、以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle \lim _{\theta \to +\infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x).}$

ここで ess inf は本質的下限 (essential infimum) を表す。充分大きな θ について、上の関係から次のような漸近表現が得られる。

${\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).}$

応用

ラプラス原理は以下に与える確率測度 P_θ の族

${\displaystyle \mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\right){\Big /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,\mathrm {d} y\right).}$

に対して適用すれば、θ を大きくした場合の、ある事象（集合）A に対する確率の漸近表現を与えることができる。 たとえば X を R 上で正規分布する確率変数とすると、すべての可測集合 A について

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}$

という関係が成り立つ。

参考文献

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2  MR1619036

関連項目

• 大偏差理論（英語版）
• 大偏差原理（英語版）
• ヴァラダンの補題（英語版）
• 測度論
• 確率論
• ルベーグ積分

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 ルベーグの優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
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