Triangle isocèle

En géométrie, un triangle isocèle est un triangle ayant au moins^[1] deux côtés de même longueur. Plus précisément, un triangle ABC est dit isocèle en A lorsque les longueurs AB et AC sont égales. A est alors le sommet principal du triangle et [BC] sa base.

Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux.

Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle, ayant ses trois côtés de même longueur.

Étymologie

Le mot « isocèle » vient du grec iso qui signifie « mêmes » et skelos, « jambes » (le dessin d'un triangle isocèle peut faire penser aux deux jambes d'un dessin de « bonhomme »).

Le Littré qualifie cette orthographe de « barbare », a contrario de « l’orthographe étymologique et correcte isoscèle ».

Propriétés

Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles égaux est isocèle.
Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur et la bissectrice toutes issues de A ainsi que la médiatrice de la base [BC] sont confondues. Cette droite est également un axe de symétrie du triangle (et le seul, sauf si le triangle est équilatéral).
Le centre du cercle circonscrit d’un triangle acutangle décompose celui-ci en trois triangles isocèles. Celui d'un triangle rectangle (qui est le milieu de l'hypoténuse) le décompose en deux triangles isocèles.

Formules

Dans un triangle isocèle, si l'on note $a$ la longueur des deux côtés égaux et $b$ la longueur de la base, alors :

la longueur de la hauteur est donnée par la formule : $h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}$ .
l'aire du triangle est ${\mathcal {A}}={\frac {b}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}$ .
le périmètre du triangle est $p=2a+b$ .

Cas particuliers

Deux triangles plats peuvent être considérés comme isocèles avec un angle principal de 0° ou de 180°.
Le triangle équilatéral est un triangle isocèle en chacun de ses sommets, avec des angles de 60°.
Le triangle isocèle rectangle est aussi appelé demi-carré avec un angle principal de 90°.
Le triangle d'or avec un angle principal de 36°, et le gnomon d’or (avec un angle principal de 108°) apparaissent dans la construction du pentagone régulier et dans les pavages de Penrose.
Le triangle isocèle d’angle principal 120° est associé au pavage triakis, dual du pavage hexagonal tronqué.

Caractérisation par les longueurs de deux médianes, de deux hauteurs ou deux bissectrices

Un triangle est isocèle si et seulement s'il possède deux médianes (segments), ou deux hauteurs (segments), ou deux bissectrices (segments) de même longueur.

Les sens directs sont évidents, et les réciproques peuvent se démontrer par les expressions des longueurs des céviennes données par le théorème de Stewart.

Pour l'égalité des segments issus de A et B, on obtient, avec les notations classiques du triangle :

${\frac {a^{2}+c^{2}}{2}}-{b^{2} \over 4}={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}-{c^{2} \over 4}$ pour l'égalité des médianes
${\frac {2}{b}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\frac {2}{c}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ pour l'égalité des hauteurs
${\frac {4ac(p-b)p}{(a+c)^{2}}}={\frac {4ab(p-c)p}{(a+b)^{2}}}$ pour l'égalité des bissectrices

qui donnent dans chaque cas $b=c$ ^[2].

On trouvera également dans Ladegaillerie 2003, p. 330, une démonstration géométrique pour les bissectrices.

Notes et références

↑ Un triangle équilatéral, dont les trois côtés ont la même longueur, est ainsi un cas particulier de triangle isocèle.
↑ Yves Ladegaillerie, Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, 2003 (ISBN 9782729814168), p. 330.

Annexes

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Bibliographie

Stella Baruk, « Isocèle », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions]

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Isosceles Triangle », sur MathWorld.

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron