Théorème de Terquem

Le théorème de Terquem est un théorème de géométrie du triangle dû à Olry Terquem.

Définitions préalables

Cévienne

On appelle cévienne une droite d'un triangle issue d'un sommet et sécante avec le côté opposé. Par exemple, les hauteurs, médianes, bissectrices d'un triangle sont des céviennes.

Triangle cévien

Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent - en général - les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.

Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle cévien du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle cévien de I par rapport au triangle ABC.

Le triangle cévien correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian. Le cercle d'Euler est le cercle cévien de l'orthocentre et du centre de gravité.

Théorème de Terquem

Soit ABC un triangle, et trois céviennes du triangle concourantes en un point P. Le cercle pédal de P, passant par les pieds de ces céviennes (E, F et G), détermine trois autres points sur les côtés du triangle (H, I et J). Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes en un point Q, appelé conjugué cyclocévien de I. Les six points d'intersection du triangle et du cercle pédal sont appelés points de Terquem.

Démonstration

D'après le théorème de Ceva, si les trois droites (AF), (BG) et (CE) sont concourantes on a :

{\frac {\overline {EA}}{\overline {EB}}}\times {\frac {\overline {FB}}{\overline {FC}}}\times {\frac {\overline {GC}}{\overline {GA}}}=-1

La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à EFG est

p={\overline {JA}}\times {\overline {GA}}={\overline {IA}}\times {\overline {EA}}

d'où les rapports égaux :

{\frac {\overline {EA}}{\overline {GA}}}={\frac {\overline {JA}}{\overline {IA}}}

De même, la puissance de B permet d'écrire

{\frac {\overline {EB}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {IB}}{\overline {HB}}}

Enfin, la puissance de C permet d'écrire

{\frac {\overline {GC}}{\overline {FC}}}={\frac {\overline {HC}}{\overline {JC}}}

Le produit des trois rapports de gauche est égal à –1, donc le produit des rapports de droite est aussi égal à –1, et :

-1={\frac {\overline {EA}}{\overline {EB}}}\times {\frac {\overline {FB}}{\overline {FC}}}\times {\frac {\overline {GC}}{\overline {GA}}}={\frac {\overline {JA}}{\overline {IA}}}\times {\frac {\overline {IB}}{\overline {HB}}}\times {\frac {\overline {HC}}{\overline {JC}}}={\frac {\overline {HC}}{\overline {HB}}}\times {\frac {\overline {IB}}{\overline {IA}}}\times {\frac {\overline {JA}}{\overline {JC}}}

D'après la réciproque du théorème de Ceva, les trois droites (AH), (BJ) et (CI) sont concourantes.

Cas particuliers

Le point de Gergonne du triangle est son propre conjugué cyclocévien ; le cercle de contact est le cercle inscrit au triangle.
Le conjugué cyclocévien du centre de gravité (point de concours des médianes) est l'orthocentre (point de concours des hauteurs), et réciproquement. Le cercle cévien est alors le cercle d'Euler du triangle.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Cyclocevian Conjugate », sur MathWorld

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron