Zginanie

Zginanie (gięcie) – deformacja ciała (pręta, płyty, powłoki), która polega na zmianie krzywizny jego osi lub powierzchni środkowej^[1]. W przekrojach poprzecznych elementów zginanych występuje nierównomierność (liniowa zmienność) rozkładu naprężeń normalnych, spowodowana działaniem momentów zginających te przekroje^[2].

W mechanice konstrukcji rzeczywiste ciała zastępuje się ich modelami mechanicznymi takimi jak pręty, płyty, powłoki. Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działy mechaniki ośrodków ciągłych^[1].

Układ współrzędnych

We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych ${\displaystyle Oxyz,}$ związanym z przekrojem poprzecznym ${\displaystyle S^{(-)}}$ pręta, którego normalna zewnętrzna jest skierowana zgodnie z ujemnym zwrotem osi ${\displaystyle Ox.}$ Układ ${\displaystyle Oxyz}$ będzie utożsamiany z układem osi głównych, centralnych. Oś ${\displaystyle Ox}$ pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś ${\displaystyle Oy}$ – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś ${\displaystyle Oz}$ – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.

Siły przekrojowe w przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$ są dodatnie wtedy, gdy mają zwroty zgodne z układem osi ${\displaystyle Oxyz.}$ Wartości tych sił wynikają z redukcji lewostronnych obciążeń zewnętrznych do środka ciężkości przekroju ${\displaystyle S^{(-)}.}$

Rodzaje zginania

W wytrzymałości materiałów rozróżniane są następujące przypadki zginania:

• Zginanie czyste (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, siły wewnętrzne redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju pręta^[2]. Jeżeli ten wektor ma dwie, różne od zera składowe ${\displaystyle M_{y}}$ i ${\displaystyle M_{z}}$ (liczone względem głównych centralnych osi bezwładności ${\displaystyle Oy,Oz}$), to zginanie takie jest ukośne (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. ${\displaystyle M_{z}=0,}$ zginanie jest płaskie (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie ${\displaystyle Ozx.}$ Naprężenia normalne ${\displaystyle \sigma _{n},}$ w przypadku czystego zginania, określone są przez siły przekrojowe wzorem

${\displaystyle \sigma _{n}=-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}z,}$

w którym przez ${\displaystyle I_{y},I_{z}}$ oznaczono główne centralne momenty bezwładności przekroju pręta.

• Zginanie poprzeczne charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych ${\displaystyle Q_{y},Q_{z},}$ spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi pręta^[2]. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających ${\displaystyle M_{y}}$ i ${\displaystyle M_{z}}$ są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór co wyżej.
• Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe jest superpozycją działania momentów zginających ${\displaystyle M_{y}}$ i ${\displaystyle M_{z}}$ z działaniem siły podłużnej ${\displaystyle N.}$ Naprężenie normalne określone jest wzorem^[2]

${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {N}{A}}-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}z.}$

Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta.

Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla ${\displaystyle z_{max}}$ i wynosi:

${\displaystyle \sigma _{max}={\frac {M_{y}}{I_{y}}}z_{max}={\frac {M_{y}}{W_{y}}},\qquad W_{y}={\frac {I_{y}}{z_{max}}},}$

gdzie:

${\displaystyle W_{y}}$ – wskaźnik (współczynnik) wytrzymałości przekroju na zginanie, który zależy od rozmiaru i kształtu przekroju pręta.

Zgodnie z hipotezą wytężeniową naprężenie ${\displaystyle \sigma _{max}}$ musi spełniać warunek:

${\displaystyle \sigma _{max}<k_{g},}$

gdzie:

${\displaystyle k_{g}}$ – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Teoria Eulera-Bernoulliego

W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi ${\displaystyle Oy,}$ otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia ${\displaystyle \epsilon _{x}}$ wzdłuż wysokości przekroju pręta

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {z}{\rho }}.}$

Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenia normalne wyrażają się wzorem

${\displaystyle \sigma _{x}=E{\frac {z}{\rho }}.}$

W rozważanym przypadku otrzymujemy:

${\displaystyle M_{y}=\int _{A}z\sigma _{x}dA=E\int _{A}{\frac {z^{2}}{\rho }}dA={\frac {E}{\rho }}\int _{A}z^{2}dA={\frac {E}{\rho }}I_{y},}$

gdzie ${\displaystyle I_{y}}$ jest momentem bezwładności względem osi ${\displaystyle Oy}$ pręta.

Z porównania wzorów wynika, że

${\displaystyle \sigma _{x}(x,z)={\frac {M_{y}(x)}{I_{y}}}z.}$

Dla bardzo małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę osi pręta można przybliżyć drugą pochodną linii ugięcia ${\displaystyle w(x){:}}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\rho }}\approx w''(x),}$

otrzymując równanie różniczkowe tej linii:

${\displaystyle EI_{y}w''(x)=-\,M_{y}(x).}$

Znak minus w tym równaniu wynika stąd, że dodatni moment ${\displaystyle M_{y}(x)}$ działający w przekroju ${\displaystyle S}$ powoduje wygięcie pręta skierowane wypukłością ku górze.

Na podstawie twierdzenia Schwedlera-Żurawskiego, przy założeniu że ${\displaystyle EI_{y}=\mathrm {const} ,}$ otrzymujemy podstawowe równanie Eulera-Bernoulliego dla pręta zginanego

${\displaystyle EI_{y}w^{IV}(x)=q_{z}(x).}$

Przykład 1

Na podstawie teorii Eulera-Bernoulliego, dla przykładu, rozważymy szczegółowo przypadek płaskiego zginania poprzecznego, gdy ${\displaystyle M_{z}=0.}$

Analizując równowagę elementu o długości ${\displaystyle dx}$ wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym ${\displaystyle q_{z}(x),}$ dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie ${\displaystyle Ozx}$ do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym (twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego)

${\displaystyle {\frac {dQ_{z}(x)}{dx}}=-q_{z}(x),\qquad {\frac {dM_{y}(x)}{dx}}=Q_{z}(x),}$

skąd po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymuje się podstawowe równanie

${\displaystyle {\frac {d^{2}M_{y}(x)}{dx^{2}}}=-q_{z}(x).}$

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi ${\displaystyle Oy}$ tzn. w płaszczyźnie ${\displaystyle Ozx,}$ ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej ${\displaystyle w(x)}$ o krzywiźnie ${\displaystyle \kappa (x).}$ Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.

Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami ${\displaystyle A,\ B}$ element o długości ${\displaystyle dx.}$ Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje ${\displaystyle A,\ B}$ obracają się względem siebie o kąt ${\displaystyle d\varphi }$ i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie ${\displaystyle O}$ odległym o ${\displaystyle \rho }$ od osi ${\displaystyle Ox.}$ Odległość tę nazywamy promieniem krzywizny, przy czym zachodzi związek ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\rho }}.}$ Wydłużenie „włókna” położonego w odległości ${\displaystyle z}$ od osi obojętnej przekroju wynosi ${\displaystyle \Delta dx.}$

Po uwzględnieniu podobieństwa trójkątów i wykorzystaniu wzorów

${\displaystyle \sigma =\epsilon E,\qquad \sigma ={\frac {M_{y}z}{I_{y}}}}$

otrzymujemy dla wydłużenia jednostkowego ${\displaystyle \epsilon }$ wzór

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta dx}{dx}}={\frac {z}{\rho }}={\frac {\sigma }{E}}={\frac {M_{y}z}{EI_{y}}}.}$

Uwzględniając fakt, że ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\rho }}\approx w''}$ otrzymujemy przy założeniu, że ${\displaystyle EI_{y}(x)=\mathrm {const} ,}$ następujące związki: ${\displaystyle EI_{y}w''(x)=-M_{y}(x),\quad EI_{y}w'''(x)=-Q_{z}(x),\quad {\underline {EI_{y}w''''(x)=q(x)}}.}$

W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału ${\displaystyle [x_{0},\,x]}$ osi ${\displaystyle Ox}$ pręta pryzmatycznego, na długości którego ${\displaystyle q(x)=q=\mathrm {const} ,}$ można napisać

${\displaystyle {\begin{aligned}w(x)&=w_{0}+{\tfrac {1}{2}}M_{0}(x-x_{0})^{2}+{\tfrac {1}{6}}Q_{0}(x-x_{0})^{3}+{\tfrac {1}{24}}q_{z}(x-x_{0})^{4},\\w^{'}(x)&=w_{0}^{'}+M_{0}(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}Q_{0}(x-x0)^{2}+{\tfrac {1}{6}}q_{z}(x-x_{0})^{3},\\EI_{y}w''(x)&=M_{0}+Q_{0}(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}q_{z}(x-x_{0})^{2},\\EI_{y}w'''(x)&=Q_{0}+q_{z}(x-x_{0}),\\EI_{y}w''''(x)&=q_{z},\end{aligned}}}$

gdzie przez ${\displaystyle w_{0},\,w_{0}^{'},\,Q_{0},\,M_{0}}$ oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ na osi pręta.

Przykład 2

Dana jest pryzmatyczna ${\displaystyle (EI_{y}(x)=const)}$ belka wspornikowa o długości ${\displaystyle L}$ utwierdzona na prawym końcu ${\displaystyle (x=L)}$ i zginana w płaszczyźnie ${\displaystyle Oxz}$ obciążeniem o wartości q stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:

${\displaystyle M_{y}(0)=Q_{z}(0)=w(L)=w^{'}(L)=0,}$

gdzie przez ${\displaystyle w(x)}$ oznaczono rzędną linii ugięcia osi.

Otrzymujemy kolejno po uwzględnieniu warunków brzegowych

${\displaystyle EI_{y}w^{''''}=q,\quad EI_{y}w^{'''}=qx,\quad EI_{y}w^{''}={\frac {1}{2}}qx^{2},}$

${\displaystyle EI_{y}w^{'}={\frac {1}{6}}q(x^{3}-L^{3}),\quad EI_{y}w={\frac {q}{24}}(x^{4}-4L^{3}x+3L^{4})}$

i dalej

${\displaystyle w(0)={\frac {1}{8}}{\frac {qL^{4}}{EI_{y}}},\quad w^{'}(0)=-{\frac {1}{6}}{\frac {qL^{3}}{EI_{y}}},\quad M_{y}(L)={\frac {1}{2}}qL^{2},\quad Q_{z}(L)=qL.}$

Zobacz też

• statyczna próba zginania

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Belka
• Belka na sprężystym podłożu 1. limba.wil.pk.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2015-05-29)].
• Zginanie. wb.po.opole.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-08-26)].
• http://kmm.p.lodz.pl/dydaktyka/uzupeln/belka_spr_podl.pdf
• http://chodor-projekt.net/encyclopedia/belka-timoshenko-sprezyste-podloze/