Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego ${\displaystyle {\vec {a}}.}$

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

Teza

Niech ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą ${\displaystyle S,}$ a ${\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z)}$ i ${\displaystyle R(x,y,z)}$ będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze ${\displaystyle V.}$ Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

${\displaystyle \iint \limits _{S}(P\;dy\,dz+Q\;dz\,dx+R\;dx\,dy)=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\;dx\,dy\,dz.}$

Przy czym całka po lewej stronie liczona jest po zewnętrznej stronie powierzchni ${\displaystyle S.}$

Dowód

Niech ${\displaystyle V}$ oznacza rzut na płaszczyznę ${\displaystyle XOY}$ oraz dla ${\displaystyle D\subseteq V,}$ niech

${\displaystyle {\bar {V}}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,\colon \,(x,y)\in {\bar {D}}\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}}$

Podzielmy powierzchnię ${\displaystyle S}$ na trzy takie części ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},}$ że:

${\displaystyle S_{1}=\{(x,y,g_{1}(x,y))\colon (x,y)\in D\}}$

${\displaystyle S_{2}=\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \partial D\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}}$

${\displaystyle S_{3}=\{(x,y,g_{2}(x,y))\colon (x,y)\in D\},}$

przy czym ${\displaystyle \partial D}$ oznacza brzeg obszaru ${\displaystyle D.}$

Dla ${\displaystyle S_{2}}$ trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla ${\displaystyle S_{1}}$ wektor normalny ma postać

${\displaystyle \pm \left[{\frac {\partial g_{1}}{\partial x}},{\frac {\partial g_{1}}{\partial y}},-1\right].}$

Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni ${\displaystyle S.}$ Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi ${\displaystyle -1.}$ Analogicznie dla powierzchni ${\displaystyle S_{3}}$ wektor normalny wynosi

${\displaystyle \left[-{\frac {\partial g_{2}}{\partial x}},-{\frac {\partial g_{2}}{\partial y}},1\right].}$

Weźmy składową ${\displaystyle R}$ pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:

${\displaystyle \iint \limits _{S}R\,dx\,dy=\iint \limits _{S_{1}}R\,dx\,dy+\iint \limits _{S_{3}}Rdx\,dy}$

${\displaystyle =\iint \limits _{D}R(x,y,g_{2}(x,y))dx\,dy-\iint \limits _{D}R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy}$

${\displaystyle =\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.}$

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}dx\,dy\int \limits _{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dz.}$

Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.}$

Dowody dla składowych ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q}$ są analogiczne.

A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

Postać wektorowa

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.

Niech ${\displaystyle {\vec {A}}}$ będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości ${\displaystyle V,}$ otoczonej powierzchnią ${\displaystyle S.}$ Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać^[1]:

${\displaystyle \int \limits _{S}{\vec {\mathbf {A} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\int \limits _{V}\left(\nabla \cdot {\vec {\mathbf {A} }}\right)\;dV,}$

gdzie ${\displaystyle {\vec {\mathbf {d} S}}}$ jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni ${\displaystyle dS}$ na powierzchni ${\displaystyle S,}$ a ${\displaystyle dV}$ jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze ${\displaystyle V.}$

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.

Zobacz też

• prawo Gaussa (elektryczność)
• twierdzenie Stokesa

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Divergence theorem, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].