Całka powierzchniowa

Całka powierzchniowa – całka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Całka niezorientowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja formalna

Niech funkcja rzeczywista ${\displaystyle f\colon \ S\to \mathbb {R} ,}$ określona na powierzchni ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3},}$ będzie ciągła. Poprzez ${\displaystyle D}$ oznaczamy rzut powierzchni ${\displaystyle S}$ na płaszczyznę ${\displaystyle XY.}$ Dzielimy ${\displaystyle D}$ na podobszary ${\displaystyle \Delta \delta _{1},\Delta \delta _{2},\dots ,\Delta \delta _{n},}$ gdzie ${\displaystyle \Delta \delta _{i}\cap \Delta \delta _{j}=\emptyset }$ dla każdego ${\displaystyle i\not =j.}$ Oznaczmy przez ${\displaystyle P}$ ten konkretny podział.

Oznaczamy przez ${\displaystyle \Delta S_{i}}$ tę część powierzchni ${\displaystyle S,}$ której rzutem na płaszczyznę ${\displaystyle XY}$ jest ${\displaystyle \Delta \delta _{i}.}$ Niech ${\displaystyle |\Delta \delta _{i}|}$ oznacza pole powierzchni ${\displaystyle \Delta \delta _{i},}$ a ${\displaystyle |\Delta S_{i}|}$ pole powierzchni ${\displaystyle \Delta S_{i}}$^[1]. Na każdym ${\displaystyle \Delta S_{i}}$ obieramy dowolny punkt ${\displaystyle p_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\in \Delta S_{i}.}$ Rzutem ${\displaystyle p_{i}}$ na ${\displaystyle XY}$ jest ${\displaystyle (x_{i},y_{i},0)\in \Delta \delta _{i}.}$

Tworzymy sumę ${\displaystyle \sigma (P)=\sum _{i=1}^{n}f(p_{i})|\Delta S_{i}|.}$ Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów ${\displaystyle P,}$ żeby największa ze średnic ${\displaystyle \Delta S_{i}}$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ${\displaystyle p_{i}}$ ciąg sum ${\displaystyle \sigma (P)}$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS}$

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną^[2].

Obliczanie

Płat dany jawnie

Jeśli płat dany równaniem ${\displaystyle z=\varphi (x,y),}$ gdzie funkcja ${\displaystyle \varphi (x,y)}$ jest klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w ${\displaystyle D,}$ to

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS=\iint \limits _{D}f{\big (}x,\ y,\ \varphi (x,y){\big )}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}}}\;dx\;dy.}$

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami ${\displaystyle x=x(u,v),\ y=y(u,v),\ z=z(u,v)}$ i ponadto zachodzą następujące warunki:

• funkcje ${\displaystyle x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)}$ są klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w ${\displaystyle D;}$
• ${\displaystyle D}$ jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
• różnym punktom wnętrza ${\displaystyle S}$ odpowiadają różne punkty ${\displaystyle D;}$
• wyrażenie ${\displaystyle H={\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}}^{2}}$ jest różne od zera wewnątrz ${\displaystyle D.}$

Wtedy

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS=\iint \limits _{D}f{\big (}x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v){\big )}{\sqrt {H}}\;du\;dv.}$

Uwaga. Wyrażenie ${\displaystyle H}$ jest sumą kwadratów minorów wziętych z macierzy Jakobiego${\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(u,v)}}={\begin{bmatrix}x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{bmatrix}}.}$

Przykłady zastosowania

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f(x,y,z)}$ wyraża gęstość materialnego płata ${\displaystyle S}$ w punkcie ${\displaystyle (x,y,z),}$ to masa całego tego płata jest równa ${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)dS.}$

Pole powierzchni płata ${\displaystyle S}$ jest równe ${\displaystyle \iint \limits _{S}dS.}$

Całka zorientowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja

Niech funkcja wektorowa ${\displaystyle F\colon \ S\to \mathbb {R} ^{3},}$ określona na powierzchni ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3},}$ będzie ciągła.

Poprzez ${\displaystyle D}$ oznaczamy rzut powierzchni ${\displaystyle S}$ na płaszczyznę ${\displaystyle XY.}$

${\displaystyle D}$ dzielimy na podobszary ${\displaystyle \Delta \delta _{1},\Delta \delta _{2},\dots ,\Delta \delta _{n},}$ takie że ${\displaystyle \Delta \delta _{i}\cap \Delta \delta _{j}=\emptyset }$ dla każdego ${\displaystyle i\not =j.}$ Poprzez ${\displaystyle P}$ oznaczamy ten konkretny podział. Przez ${\displaystyle \Delta S_{i}}$ oznaczamy tę część powierzchni ${\displaystyle S,}$ której rzutem na płaszczyznę ${\displaystyle XY}$ jest ${\displaystyle \Delta \delta _{i},}$ a przez ${\displaystyle |\Delta S_{i}|}$ oznaczamy pole powierzchni ${\displaystyle \Delta S_{i}.}$

Na każdym ${\displaystyle \Delta S_{i}}$ obieramy dowolny punkt ${\displaystyle p_{i}=(x_{1},y_{i},z_{i})\in \Delta S_{i}.}$ Rzutem ${\displaystyle p_{i}}$ na ${\displaystyle XY}$ jest ${\displaystyle (x_{i},y_{i},0)\in \Delta \delta _{i}.}$

Tworzymy sumę ${\displaystyle \sigma (P)=\sum _{i=1}^{n}F_{N}(p_{i})|\Delta S_{i}|,}$ gdzie ${\displaystyle F_{N}(p_{i})}$ jest składową wektora ${\displaystyle F(p_{i})=(X(p_{i}),Y(p_{i}),Z(p_{i}))}$ normalną do ${\displaystyle \Delta S_{i}.}$

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów ${\displaystyle P,}$ żeby największa ze średnic ${\displaystyle \Delta S_{i}}$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ${\displaystyle p_{i}}$ ciąg sum ${\displaystyle \sigma (P)}$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

${\displaystyle \iint \limits _{S}X(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy,}$

lub

${\displaystyle \iint \limits _{S}Xdydz+Ydzdx+Zdxdy}$

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną^[3]. Niekiedy używa się również oznaczenia ${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,}$ ${\displaystyle \iint \limits _{S}{\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}}$ lub podobnego^[4].

Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:

${\displaystyle \iint \limits _{S}\left(X\;dy\;dz+Y\;dz\;dx+Z\;dx\;dy\right)=\iint \limits _{S}(X\cos \alpha +Y\cos \beta +Z\cos \gamma )\;dS,}$ gdzie ${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma }$

to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie ${\displaystyle (x,y,z),}$ a osiami układu współrzędnych^[5].

Obliczanie

Płat dany jawnie

Niech płat jest zadany równaniem ${\displaystyle z=\varphi (x,y),}$ gdzie funkcja ${\displaystyle \varphi }$ jest klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w ${\displaystyle D.}$ I niech ${\displaystyle \mathbf {N} =[-\varphi _{x},-\varphi _{y},1]}$ jest wektorem normalnym do ${\displaystyle S}$ skierowanym zgodnie z osią ${\displaystyle OZ.}$ Wtedy

${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,\ y,\ \varphi (x,y))\mathbf {N} \;dx\;dy=}$

${\displaystyle =\varepsilon \iint \limits _{D}{\Big (}-X\left(x,\ y,\ \varphi (x,y)\right)\varphi _{x}-Y\left(x,\ y,\ \varphi (x,y)\right)\varphi _{Y}+Z(x,\ y,\ \varphi (x,y)){\Big )}\;dx\;dy,}$

gdzie ${\displaystyle \varepsilon =+1,}$ jeśli płat ${\displaystyle S}$ jest zorientowany zgodnie z osią ${\displaystyle OZ,}$ i ${\displaystyle \varepsilon =-1,}$ jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami ${\displaystyle x=x(u,v),\ y=y(u,v),\ z=z(u,v),}$ gdzie wszystkie te funkcje są klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w ${\displaystyle D.}$ I niech ponadto zachodzą następujące warunki:

• ${\displaystyle D}$ jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
• różnym punktom wnętrza ${\displaystyle S}$ odpowiadają różne punkty ${\displaystyle D;}$
• wyrażenie ${\displaystyle H=|\mathbf {h} |^{2}={\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}}^{2}}$ jest różne od zera wewnątrz ${\displaystyle D}$ (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej ${\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(u,v)}}={\begin{bmatrix}x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{bmatrix}}}$).

Wtedy:

${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathbf {h} \;du\;dv,}$

gdzie:

${\displaystyle \mathbf {h} =[x_{u},y_{u},z_{u}]\times [x_{v},y_{v},z_{v}]={\bigg [}{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}{\bigg ]}.}$

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

${\displaystyle \varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathbf {h} \;du\;dv=\varepsilon \iint \limits _{D}{\begin{vmatrix}X&Y&Z\\x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}\;du\;dv.}$

Tu ${\displaystyle \varepsilon =+1,}$ gdy płat ${\displaystyle S}$ jest zorientowany zgodnie z wektorem h; ${\displaystyle \varepsilon =-1,}$ gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty

Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Uwagi: niech ten, kto dobrze orientuje się w tym temacie, sprawdzi w tej sekcji wzór i to, co napisano po wzorze., zrozumiale przepisać reguły o znaczeniach ${\displaystyle \varepsilon x,}$ ${\displaystyle \varepsilon y,}$ ${\displaystyle \varepsilon z.}$ Tak, jak teraz są one napisane, jest zupełnie nie do przyjęcia. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.

Jeśli płat ${\displaystyle S}$ można opisać wzorami ${\displaystyle x=x(y,z),\ y=y(z,x),\ z=z(x,y),}$ gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach ${\displaystyle S_{yz},}$ ${\displaystyle S_{zx},}$ ${\displaystyle S_{xy},}$ będących rzutami ${\displaystyle S}$ odpowiednio na ${\displaystyle OYZ,}$ ${\displaystyle OZX,}$ ${\displaystyle OXY,}$ to

${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\iint \limits _{S}\left(X\;dy\;dz+Y\;dz\;dx+Z\;dx\;dy\right)=}$

${\displaystyle =\varepsilon _{x}\iint \limits _{S_{yz}}X(x(y,z),\ y,\ z)\;dy\;dz\;+\;\varepsilon _{y}\iint \limits _{S_{zx}}Y(x,\ y(z,x),\ z)\;dx\;dz\;+\;\varepsilon _{z}\iint \limits _{S_{xy}}Z(x,\ y,\ z(x,y))\;dx\;dy.}$

${\displaystyle \varepsilon _{x}=+1,\varepsilon _{y}=+1,\varepsilon _{z}=+1,}$ gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a ${\displaystyle -1}$ gdy jest zorientowany przeciwnie. ${\displaystyle \varepsilon _{x}*\varepsilon _{z}=+1\Leftrightarrow z_{x}<0}$ itd.

• Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
• Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
• Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.

Zobacz też

• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Surface integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].