Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.
1
0,841471
2
0,958851
...
10
0,998334
...
100
0,999983
Dodatnia liczba całkowita staje się coraz większa, wartość staje się coraz bliższa Mówimy, że granica jest równa
Historia
Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue’a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia oraz użycia go w ich wersjach rachunku różniczkowego i całkowego[1]. Oboje tłumaczyli istnienie granic w różny sposób, Newton porównywał je do ciągłego ruchu, że w każdym konkretnym punkcje czasu istnieje jakiś prędkość. Leibniz natomiast tłumaczył granicę na przykładzie krzywych eliptycznych, gdzie parabola dąży do elipsy i może być nieskończenie blisko elipsy, ale nie być jeszcze elipsą[2].
Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass[3].
Granica w punkcie
Funkcja określona na zbiorze ma w punkcie skupienia tego zbioru granicę równą jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków
1. definicja Heinego:
dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego oraz dąży do ciąg wartości funkcji dąży do gdy [3];
2. definicja Cauchy’ego:
co czytamy następująco: dla każdej liczby istnieje liczba taka, że dla każdego z nierówności wynika nierówność
3. definicja przez ciągłość[4]: jest taką wartością, którą należy nadać funkcji w punkcie by była w tym punkcie ciągła:
jest ciągła w (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.) Aby móc stosować tę definicję gdy lub są równe lub wystarczy rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych z odpowiednimi otoczeniami i
Warunek w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie wymagamy W definicji przez ciągłość nie musimy wykluczać tego wymagania dla funkcji bo sprowadza się ono do warunku który jest oczywiście spełniony, bo
Jeżeli istnieje granica funkcji w punkcie i jest równa to piszemy
Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).
Liczba jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia dziedziny, co zapisuje się
przy (odpowiednio: przy )
lub
(odpowiednio: ),
gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:
definicja Heinego
dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego (odpowiednio: ) oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą co zapisuje się
przy
lub
gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:
definicja Heinego
dla każdego ciągu takiego, że oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego
Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą trzeba tylko wszędzie zamienić na a definicję Cauchy’ego zapisać tak:
Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.
Granica w nieskończoności
Funkcja określona dla wszystkich (odpowiednio: ) ma granicę w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się
przy (odpowiednio: )
lub
(odpowiednio: ),
gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:
definicja Heinego
dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz (odpowiednio: dla każdego oraz ), ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego
(odpowiednio ).
Granica niewłaściwa w nieskończoności
Funkcja określona na przedziale ma w nieskończoności granicę niewłaściwą co zapisuje się
przy
lub
gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:
definicja Heinego
dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego
Analogicznie definiuje się:
granicę niewłaściwą funkcji w
granicę niewłaściwą funkcji w
granicę niewłaściwą funkcji w
Własności
Jeśli funkcje i określone na zbiorze mają granice właściwe i to:
gdy oraz
Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.
Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że nie oznacza, że istnieją granice czy W podanym przykładzie granica nie istnieje, natomiast
Jeśli funkcja ma w punkcie granicę funkcja ma w punkcie granicę przy czym i są odpowiednio punktami skupienia zbiorów oraz przy czym dla każdego z pewnego sąsiedztwa punktu to
Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności: