Funkcja zeta Riemanna (funkcja dzeta Riemanna, funkcja ) – zespolona funkcja specjalna zdefiniowana w postaci szeregu
dla dowolnej liczby zespolonej o części rzeczywistej oraz jako przedłużenie analityczne powyższego szeregu dla pozostałych liczb zespolonych[1].
Funkcję po raz pierwszy zdefiniował Leonhard Euler w XVIII w., jednak rozważał jej wartości jedynie dla zmiennych rzeczywistych. Dopiero Bernhard Riemann w artykule z listopada 1859 r. O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości (niem.Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) rozszerzył definicję Eulera na wszystkie liczby zespolone, udowodnił meromorficzność funkcji, przedstawił i udowodnił równanie funkcyjne opisujące funkcję na całej płaszczyźnie zespolonej i wykazał zależność między rozmieszczeniem jej miejsc zerowych a liczbą liczb pierwszych. Artykuł ten zawierał również sformułowanie hipotezy Riemanna, określanej jako najważniejszy problem otwarty matematyki[2].
Funkcja dzeta znajduje bardzo wiele zastosowań w analitycznej teorii liczb.
Postacie funkcji
Dla zmiennej o części rzeczywistej większej niż 1
Funkcja jest pierwotnie definiowana za pomocą szeregu. W swojej pracy Riemann udowodnił także postać
dla wykorzystując przy tym odwrotność funkcji gamma.
W perspektywie teorii liczb, zdecydowanie największą rolę odgrywa iloczyn Eulera funkcji zeta, będący postaci
gdzie oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych[3][4].
W pasie krytycznym
Często wykorzystywaną reprezentacją funkcji na pasie jest
Równaniem udowodnionym przez Riemanna, które opisuje zachowanie funkcji
dla dowolnej liczby zespolonej gdzie to funkcja gamma. Równanie to wiąże wartości funkcji dla zmiennych zespolonych i symetrycznych wobec siebie względem prostej krytycznej Z równania tego można również odczytać, że trywialnymi miejscami zerowymi funkcji są (ponieważ wtedy wartości funkcji i są skończone, a ). Jednocześnie, jeśli (jest dodatnią liczbą parzystą), to ponieważ w tych miejscach występują bieguny funkcji Ponadto, jeśli jest nietrywialnym miejscem zerowym to jest nim również Jeśli nie leży na prostej krytycznej, to są to dwie różne wartości, dlatego nietrywialne miejsca zerowa poza prostą krytyczną muszą występować w parach.
Przedstawimy poniżej trzy dowody prawdziwości równania funkcyjnego wg Titchmarsha (spośród aż siedmiu przedstawionych)[7].
Dowód 1. W pierwszym dowodzie wyprowadzamy, a następnie korzystamy z postaci funkcji wykorzystującej całkę z funkcji
Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby Widzimy, że
Stąd
dla
Teraz skorzystajmy z szeregu Fouriera zbieżnego do części ułamkowej. Mamy
dla niecałkowitych. Podstawiając pod całkę, otrzymamy
Upraszczając i korzystając z otrzymamy równanie.
Dowód 2. Dowód ten przeprowadzany jest ze szczególnym uwzględnieniem narzędzi analizy zespolonej.
Zacznijmy od udowodnienia szczególnej postaci funkcji (przedstawionej wcześniej w artykule). Całkując przez podstawienie, pokazujemy, że
więc dla mamy
gdzie przy trzeciej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie, ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny, a ostatnia równość zachodzi, ponieważ występujący tam szereg jest zwykłym szeregiem geometrycznym.
Rozważmy całkę
gdzie oznacza kontur Hankela (krzywą składającą się z prostej od do fragmentu dodatnio określonego (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) okręgu okrążając 0 i prostej od do ). Przyjęliśmy tutaj
gdzie logarytm jest rzeczywisty na początku konturu. Na zadanym okręgu mamy
i
dla pewnej stałej więc
Stąd, jeśli to przy wartość powyższej całki na części okręgu dąży do 0. Dlatego, zakładając dalej mamy
Niech będzie konturem równym od do następnie dodatnio określonym fragmentem kwadratu a potem od do Całkowana funkcja ma pomiędzy konturami a bieguny w punktach Residua w punktach i to w sumie
Biorąc i wiedząc, że funkcja jest ograniczona oraz wnioskujemy, że całka po konturze dąży do 0. Dlatego
Upraszczając, otrzymamy równanie funkcyjne.
Dowód 3.
Jeśli to, całkując przez podstawienie,
Stąd, dla zachodzi
gdzie, podobnie jak w poprzednim dowodzie, w ostatniej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie, ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny (stąd silniejsze założenie o części rzeczywistej ). Oznaczmy
Wówczas
Korzystając ze wzoru sumacyjnego Poissona, otrzymamy
a stąd
Dlatego
Powyższe wyrażenie jest równe
co z kolei równa się
Zatem
gdzie całka jest zbieżna dla wszystkich zespolonych, więc wyrażenie po lewej można przedłużyć analitycznie. Ponadto, prawa strona nie zmienia wartości po zastąpieniu przez Dlatego
Wszystkie powyższe iloczyny można otrzymać przez zwykłe przekształcenia algebraiczne na produkcie Eulera funkcji a szeregi po prawej – przez wymnażanie czynników[8].
Z powyższych możemy wnioskować, że udowodnienie, że nie ma żadnych zer na prostej jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a hipoteza Riemanna jest równoważna z błędem w szacowaniu rzędu
Miejsca zerowe
Równanie funkcyjne mówi, że funkcja Riemanna przyjmuje wartość równą 0 dla wszystkich ujemnych liczb parzystych, czyli Są to tzw. zera trywialne. Są trywialne w takim sensie, że łatwo jest udowodnić ich występowanie, ponieważ są one miejscami, w których sinus przyjmuje wartość 0. O wiele większe znaczenie mają zera nietrywialne, czyli wszystkie miejsca zerowe niebędące zerami trywialnymi.
Wiadomo, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe muszą leżeć na pasie krytycznym, zdefiniowanym jako Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe leżą na prostej krytycznej
Niech oznacza liczbę miejsc zerowych funkcji Riemanna postaci przy W 1921 Hardy i Littlewood udowodnili, że nieskończenie wiele nietrywialnych zer leży na prostej krytycznej[16], a dokładniej mówiąc wykazali, że dla każdego istnieje stała taka, że
dla wszystkich
Współcześnie wiadomo, że
dla Ponadto, jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to[17]
W 1989 Conrey udowodnił, że przynajmniej z nich musi leżeć na tej prostej[18].
↑EnricoE.BombieriEnricoE., The Riemann Hypothesis – official problem description [online], Clay Mathematics Institute, 8 sierpnia 2014 [dostęp 2023-12-17] [zarchiwizowane z adresu 2015-12-22](ang.).
↑ abGeorg Friedrich BernhardG.F.B.RiemannGeorg Friedrich BernhardG.F.B., Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859.brak strony (czasopismo)
↑Tao T., 254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory, What’s new, 10 grudnia 2014 [dostęp 2023-12-12] (ang.).
↑DanielD.HutamaDanielD., Implementation of Riemann’s Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage [online], Institut des sciences mathématiques, 2017(ang.).
↑G.H.G.H.HardyG.H.G.H., J.E.J.E.LittlewoodJ.E.J.E., The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, „Mathematische Zeitschrift”, 10 (3–4), 1921, s. 283–317, DOI: 10.1007/bf01211614, ISSN 0025-5874 [dostęp 2023-12-17].
↑J.B.J.B.ConreyJ.B.J.B., More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line., „Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)”, 1989 (399), 1989, s. 1–26, DOI: 10.1515/crll.1989.399.1, ISSN 0075-4102 [dostęp 2023-12-17].
E.C.E.C.TitchmarshE.C.E.C., The theory of the Riemann zeta-function, second edition, Oxford: Clarendon Press, 1986(ang.).
Hugh L.H.L.MontgomeryHugh L.H.L., Robert C.R.C.VaughanRobert C.R.C., Multiplicative Number Theory I, Cambridge University Press, 16 listopada 2006, DOI: 10.1017/cbo9780511618314, ISBN 978-0-521-84903-6 [dostęp 2023-12-17](ang.).
LechL.MaligrandaLechL., Szeregi w pracach Eulera, „Antiquitates Mathematicae”, 2, 2008, s. 47–67, DOI: 10.14708/am.v2i1.609, ISSN 1898-5203, URN: urn:nbn:se:ltu:diva-13072.
Linki zewnętrzne
Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W., Riemann Zeta Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12](ang.).
Grant Sanderson, Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation, kanał 3blue1brown na YouTube, 9 grudnia 2016 [dostęp 2021-03-15].