Tenseur de Killing-Yano

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En géométrie riemannienne, un tenseur de Killing-Yano est une généralisation du concept de vecteur de Killing à un tenseur de dimension supérieure. Ils ont été introduits en 1952 par Kentaro Yano^[1]. Un tenseur antisymétrique d'ordre p ${\displaystyle f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}}$ est dit de Killing-Yano lorsqu'il vérifie l'équation

${\displaystyle D_{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+D_{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,}$.

Cette équation diffère de la généralisation usuelle du concept de vecteur de Killing à des tenseurs d'ordre plus élevé, appelés tenseurs de Killing par ce que la dérivée covariante D est symétrisée avec un seul indice du tenseur et non la totalité de ceux-ci, comme c'est le cas pour les tenseurs de Killing.

Tenseurs de Killing-Yano triviaux

Tout vecteur de Killing est un tenseur de Killing d'ordre 1 et un tenseur de Killing-Yano.

Le tenseur complètement antisymétrique (dit de Levi-Civita) ${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$, où n est la dimension de la variété est un tenseur de Killing-Yano, sa dérivée covariante étant toujours nulle (voir Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur).

Construction de tenseurs de Killing à partir de tenseurs de Killing-Yano

Il existe plusieurs façons de construire des tenseurs de Killing (symétriques) à partir de tenseurs de Killing-Yano.

Tout d'abord, deux tenseurs de Killing triviaux peuvent être obtenus à partir de tenseurs de Killing-Yano :

• À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre 1 ${\displaystyle \xi _{a}}$, on peut construire un tenseur de Killing ${\displaystyle K_{ab}}$ d'ordre de 2 selon

${\displaystyle K_{ab}=\xi _{a}\xi _{b}}$.

• À partir du tenseur complètement antisymétrique ${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$, on peut construire le tenseur de Killing trivial

${\displaystyle K_{ab}=\epsilon _{ba_{2}...a_{n}}\epsilon ^{a_{2}...a_{n}c}g_{ca}=-6g_{ab}}$.

De façon plus intéressante, à partir de deux tenseurs de Killing-Yano d'ordre 2 ${\displaystyle A_{ab}}$ et ${\displaystyle B_{ab}}$, on peut construire le tenseur de Killing d'ordre 2 ${\displaystyle K_{ab}}$ selon

${\displaystyle K_{ab}=g^{cd}\left(A_{ac}B_{db}+B_{ac}A_{db}\right)}$.

À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre n-1, ${\displaystyle A_{a_{2}...a_{n}}}$, on peut construire le vecteur associé au sens de Hodge (voir Dualité de Hodge),

${\displaystyle A^{a}=\epsilon ^{aa_{2}...a_{n}}A_{a_{2}...a_{n}}}$.

Du fait que le tenseur ${\displaystyle A_{a_{2}...a_{n}}}$ est de Killing-Yano, le vecteur A n'est pas de Killing-Yano, mais obéit à l'équation

${\displaystyle D_{a}A_{b}={\frac {1}{n}}g_{ab}D_{c}A^{c}}$.

Cette propriété permet de construit un tenseur de Killing ${\displaystyle K_{ab}}$ à partir de deux tels vecteurs, défini par :

${\displaystyle K_{ab}=A_{a}B_{b}+A_{b}B_{a}-2A^{c}B_{c}g_{ab}}$.

Toute combinaison linéraire de tenseurs de Killing-Yano est également un tenseur de Killing-Yano.

Propriétés

Un certain nombre de propriétés des espaces-temps quadridimensionnels impliquant les tenseurs de Killing-Yano ont été exhibées par C. D. Collinson et H. Stephani dans le courant des années 1970^[2],[3],[4].

• Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano non dégénéré, alors celui-ci peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle A_{ab}=X(l_{a}k_{b}-k_{a}l_{b})+iY(m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b})}$,

où k, l, m et ${\displaystyle {\bar {m}}}$ forment une tétrade et les fonctions X et Y obéisent à un certain nombre d'équations différentielles. De plus, le tenseur de Killing-Yano obéit à la relation suivante avec le tenseur de Ricci^[3],[4] :

${\displaystyle R_{a}^{c}A_{cb}+R_{b}^{c}A_{ca}=0}$.

• Les solutions aux équations d'Einstein dans le vide et de type D dans la classification de Petrov admettent un tenseur de Killing et un tenseur de Killing-Yano, tous deux d'ordre 2 et reliés par la formule donnée ci-dessus^[3],[4].
• Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 2 dégénéré ${\displaystyle A_{ab}}$, alors celui-ci s'écrit sous la forme

${\displaystyle A_{ab}=k_{a}p_{b}-p_{a}k_{b}}$,

k étant un vecteur de Killing de genre lumière. Le tenseur de Weyl est dans ce cas de type N dans la classification de Petrov, et k est son vecteur propre non trivial. De plus, a possède la relation donnée ci-dessus avec le tenseur de Riemann^[2],[4]

• Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 3, alors soit le vecteur associé par dualité de Hodge est un vecteur de genre lumière constant, soit l'espace est conformément plat^[2],[4].

Voir aussi

• Vecteur de Killing
• Tenseur de Killing

Référence

• (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), pages 349 à 352.

Note

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