Tenseur de Bel-Robinson

En relativité générale, le tenseur de Bel-Robinson, du nom de Lluis Bel et Ivor Robinson^[1] est un tenseur conçu en suivant une procédure assimilable à celle du tenseur énergie-impulsion en électromagnétisme. Ce tenseur présente certaines propriétés qui lui confèrent une analogie avec le tenseur énergie-impulsion d'un champ gravitationnel, quoiqu'une telle quantité ne puisse être définie en relativité générale.

Formule

Le tenseur de Bel-Robinson, en général noté T est défini à partir du tenseur de Weyl par l'un ou l'autre des formules équivalentes :

${\displaystyle T_{abcd}=C_{aecf}C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}+{\frac {1}{4}}\epsilon _{ae}{}^{hi}\epsilon _{b}{}^{ej}{}_{k}C_{hicf}C_{j}{}^{k}{}_{d}{}^{f}}$,

${\displaystyle T_{abcd}=C_{aecf}C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}-{\frac {3}{2}}g_{a[b}C_{jk]cf}C^{jk}{}_{d}{}^{f}}$.

Propriétés

• Le tenseur de Bel-Robinson est complètement symétrique (il est invariant par échange de ses indices).
• Sa trace (calculée par rapport à n'importe quelle paire d'indices, puisque le tenseur est symétrique) est nulle :

${\displaystyle T^{a}{}_{acd}=0}$,

• Dans le vide, c'est-à-dire quand le tenseur de Riemann est nul, la divergence du tenseur est nulle :

${\displaystyle D^{a}T_{abcd}=0}$.

• La composante temporelle du tenseur, c'est-à-dire la quantité ${\displaystyle T_{abcd}u^{a}u^{b}u^{c}u^{d}}$, où u est la quadrivitesse d'un observateur, est positive ou nulle, évoquant une densité d'énergie.

Notes

Références

• (en) Robert M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984, 498 p. (ISBN 0226870332), page 90.
• (en) Stanley Deser, The Immortal Bel-Robinson Tensor, communication au colloque Iberian Gravity Symposium, In Gravitation and Relativity in General, World Scientific, Singapour (1999), gr-qc/9901007 Voir en ligne.

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