Merkezsel moment

Olasılık kuramı ve istatistik bilimsel dallarında bir reel-değerli rassal değişken için k-ıncı ortalama etrafındaki moment, E beklenen değer operatörü olursa

μk := E[(X - E[X])k]

miktarı olarak tanımlanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan bir sürekli tekdeğişirli olasılık dağılımı için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir:

μ k = ⟨ ( X − ⟨ X ⟩ ) k ⟩ = ∫ − ∞ + ∞ ( x − μ ) k f ( x ) d x . {\displaystyle \mu _{k}=\left\langle (X-\langle X\rangle )^{k}\right\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\,dx.}

Fizikçiler kullandıkları notasyonda burada verilen E(X) (Xin beklenen değeri) yerine ⟨ X ⟩ {\displaystyle \langle X\rangle } terimini tercih etmektedirler.

Eğer rassal değişken için bir ortalama bulunmuyorsa (örneğin Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken için) o halde merkezsel momentler de anlamsızdır.

İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir:

  • Birinci merkezsel moment sıfırdır.
  • İkinci ortalama etrafındaki moment varyans ismini alır ve σ2 olarak ifade edilir; burada σ standart sapmayı temsil eder.
  • Ortalama etrafındaki üçüncü ve dördüncü momentler standardize edilmiş momentlerin tanımlanmasında kullanılırlar ve bunlar ise ayni sırayla çarpıklık ve basıklık tanımlaması için kullanılırlar.

Özellikleri

  • ninci merkezsel moment çevirme operasyonu ile değiştirilemez; herhangi bir rassal değişken olan X için ve bir sabit olan c için
μ n ( X + c ) = μ n ( X ) . {\displaystyle \mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X).\,}

olur.

  • Her n için, ninci merkezsel moment n dereceli homojen dir; yani
μ n ( c X ) = c n μ n ( X ) . {\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}
  • Yalnız n ≤ 3 için geçerli olan bir özellik, birbirinden bağımsız olan X ve Y rassal değişkenleri için toplanabilirlilik özelliğidir:
μ n ( X + Y ) = μ n ( X ) + μ n ( Y )   e g e r   n ≤ 3. {\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\ \mathrm {eger} \ n\leq 3.\,}

Kümülant adı verilen, bir diğer fonksiyon türü de, ninci merkezsel momentin sahip olduğu çevirme operasyonu ile değişmeme ve homojenlik özelliklerini taşır. Fakat, merkezsel momentin aksine, bu fonksiyon türü n ≥ 4 olsa bile toplanabilirlilik özelliği gösterir. Bu fonksiyon türü

κn(X).

olarak ifade edilen ninci kümülantdır.

  • n = 1, için ninci kümülant, sadece beklenen değerdir.
  • n = ya 2 veya 3 ise, ninci kümülant sadece ninci merkezsel moment olur.
  • n ≥ 4, ise ninci kümülant ise bir ilk sifir etrafindaki n momentin ninci-derecede monotonik polinomu olurlar ve daha kolaylıkla ilk n merkezsel momentlerin n dereceli polinomları olurlar.

Orijin etrafındaki momentlere ilişki

Bazen orijin etrafındaki momentleri ortalama etrafındaki momentlere değiştirmek daha uygun olabilir. Orijin etrafındaki ninci-derecede momenti ortalama etrafındaki momente değiştirmek için kullanılan genel denklem şudur:

μ n = ∑ j = 0 n ( n j ) ( − 1 ) n − j μ j ′ m n − j , {\displaystyle \mu _{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}m^{n-j},}

Burada m dağılımın ortalaması olur. Orijin etrafındaki moment şöyle verilir:

μ j ′ = ∫ − ∞ + ∞ x j f ( x ) d x . {\displaystyle \mu '_{j}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{j}f(x)\,dx.}

n = 2 , 3 ,  ve  4 {\displaystyle n=2,3,{\text{ ve }}4} halleri sırasıyla varyans, çarpıklık ve basıklık özellikleri ile ilişkili oldukları için önemlilerdir ve formülleri şöyle ifade edilir:

μ 2 = μ 2 ′ − m 2 {\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-m^{2}}
μ 3 = μ 3 ′ − 3 m μ 2 ′ + 2 m 3 {\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3m\mu '_{2}+2m^{3}}
μ 4 = μ 4 ′ − 4 m μ 3 ′ + 6 m 2 μ 2 ′ − 3 m 4 {\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4m\mu '_{3}+6m^{2}\mu '_{2}-3m^{4}}

Ayrıca bakınız