Lorenzov atraktor

Prikaz trajektorije Lorenzovog sustava za vrijednosti ρ=28, σ = 10, β = 8/3
Trajektorija Lorenzovih jednadžbi, renderirana kao metalna žica kako bi se naznačio smjer i trodimenzionalna struktura

Lorenzov atraktor je kaotično preslikavanje, istaknuto po svom leptirolikom obliku. Preslikavanje pokazuje kako stanje dinamičkog sustava (tri varijable trodimenzionalnog sustava) vremenski evolvira u složenom, neponavljajućem uzorku, često opisanom kao lijepim[nedostaje referenca].

Sam atraktor, kao i jednadžbe iz kojih je izveden, je izmislio Edward Lorenz 1963., koji ih je izveo iz pojednostavljenih jednadžbi konvekcijskih uvrtanja koji izniču iz jednadžbi Zemljine atmosfere.[1]

Sa tehničkog gledišta, sustav je nelinearan, trodimenzionalan i deterministički. 2001. je Warwick Tucker dokazao da za određene parametre sustav ispoljava kaotično ponašanje i pokazuje ono što je danas nazvano čudnim atraktorom. Čudni atraktor je u ovom slučaju fraktal Hausdorffove dimenzije između 2 i 3. Grassberger (1983.) je procjenio njegovu Hausdorffovu dimenziju na 2.06 ± 0.01 i korelacijsku dimenziju na 2.05 ± 0.01.

Sistem izniče u laserima, dinamima i specifičnim vodenicama [1].

Jednadžbe koje upravljaju Lorenzovim atraktorom su:

d x d t = σ ( y − x ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)}
d y d t = x ( ρ − z ) − y {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y}
d z d t = x y − β z {\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z}

gdje se σ {\displaystyle \sigma } zove Prandtlovim brojem i ρ {\displaystyle \rho } Rayleighjevim brojem. Svi su σ {\displaystyle \sigma } , ρ {\displaystyle \rho } , β {\displaystyle \beta } > 0, ali je obično σ {\displaystyle \sigma } = 10, β {\displaystyle \beta } = 8/3 i ρ {\displaystyle \rho } varira. Sustav ispoljava kaotično ponašanje za ρ {\displaystyle \rho } = 28 i prikazuje čvoraste periodičke orbite za druge vrijednosti od ρ {\displaystyle \rho } . Primjerice, uz ρ = 99.96 {\displaystyle \rho =99.96} postaje T(3,2) torusni čvor.

Učinak leptira u Lorenzovom atraktoru

Učinak leptira
Vrijeme t=1 (povećano) Vrijeme t=2 (povećano) Vrijeme t=3 (povećano)
Ovi oblici - načinjeni uz ρ=28, σ = 10 i β = 8/3 - pokazuju tri vremenska segmenta 3-D evolucije dvaju trajektorija (jedne plavo, druge žuto obojeane) u Lorenzovom atraktoru počinjući od inicijalnih točaka koje se razlikuju svega za 10-5 u x koordinati. U početku se dvije trajektorije podudaraju (vidi se samo žuta, jer je iscrtana preko plave) ali, nakon nekog vremena, očito divergiraju.
Java animacija Lorenzovog atraktora Arhivirano 2008-03-11 na Portuguese Web Archive-u pokazuje kontinuiranu evoluciju.

Rabeći različite vrijednosti za Rayleighjev broj

Lorenzov atraktor za različite vrijednosti ρ
ρ=14, σ=10, β=8/3 (povećano) ρ=13, σ=10, β=8/3 (povećano)
ρ=15, σ=10, β=8/3 (povećano) ρ=28, σ=10, β=8/3 (povećano)
Za male vrijednosti ρ, sustav je stabilan i evolvira u jednu od dvije fiksne točke atraktora. Kada je ρ veći od 24.74, fiksne točke postaju repulzori koji odbijaju trajektorije na vrlo složen način, evolvirajući bez presijecanja same sebe.
Java animacija koja prikazuje evoluciju za različite vrijednosti ρ Arhivirano 2008-03-11 na Portuguese Web Archive-u

Vidi još

  • Popis kaotičnih preslikavanja
  • Takensov theorem
  • Mandelbrot

Izvori

  • Lorenz, E. N. (1963). „Deterministic nonperiodic flow”. J. Atmos. Sci. 20: 130-141. DOI:10.1175/1520-0469(1963)020%3C0130:DNF%3E2.0.CO;2. 
  • Frøyland, J., Alfsen, K. H. (1984). „Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model”. Phys. Rev. A 29: 2928–2931. 
  • Tucker, W. (2002). „A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem”. Found. Comp. Math. 2: 53-117. 
  • Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing. 
  • Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004.
  • P. Grassberger and I. Procaccia (1983). „Measuring the strangeness of strange attractors”. Physica D 9: 189-208. DOI:10.1016/0167-2789(83)90298-1. 

Eksterni linkovi

Lorenzov atraktor na Wikimedijinoj ostavi
  • Lorenzov atraktor (MathWorld članak)
  • Lorenzova jednadžba Arhivirano 2009-06-07 na Wayback Machine-u na planetmath.org
  • Interaktivna animacija Lorenzovog atraktora (zahtijeva Adobe Shockwave dodatak)
  • Levitated.net: računska umjetnost i dizajn
  • 3D VRML Lorenzov atraktor Arhivirano 2009-06-28 na Wayback Machine-u (zahtijeva dodatak VRML preglednika)
  • JAVA applet Arhivirano 2008-03-11 na Portuguese Web Archive-u - leptirov učinak, Lorenzov i Rosslerov atraktor
  • Eseji o Lorenzovim atraktorima u J-u - vidi programski jezik J
  1. ↑ [|ScienceDirect]. „Lorenz Equation”.