Spațiu afin

În geometria afină, un spațiu afin este o structură geometrică ce generalizează anumite proprietăți ale dreptelor paralele din spațiul euclidian.

Descriere

Considerând un corp comutativ K, elementele sale vor fi notate de obicei cu primele litere ale alfabetului latin: a, b, c etc.

Definiție: Fie o mulțime amorfă A, nevidă, cu elemente numite puncte, iar V un spațiu vectorial peste corpul comutativ K. Dacă aplicația φ : A x A → V are următoarele proprietăți:

• φ(A,B) + φ(B,C) = φ(A,C)
• există un punct O din A, astfel încât φ_O este o bijecție

atunci tripletul (A, V, φ) se va numi spațiu afin, iar φ se va numi structură afină.

Exemplu: Planul și spațiul geometric euclidian sunt spații afine peste spațiile vectoriale ale vectorilor liberi asociați.

Teoremă: Fie următorul triplet (A, V, φ. Dacă (A, V, φ) este un spațiu afin, atunci oricare ar fi B o submulțime din A, aplicația φ_B: A →V este o bijecție.

Corolar 1: Pentru oricare ar fi B o submulțime din A si x din V, există un unic punct C astfel încât vectorul BC=x

Corolar 2: Oricare ar fi B din A există o structură de spațiu vectorial pe A cu punctul B nul. A este izomorf cu V prin φ_B înzestrat cu această structură.

Portal Matematică

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.