Polinom omogen

În matematică un polinom omogen este un polinom ai cărui termeni nenuli au toți același grad.^[1] De exemplu ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$ este un polinom omogen de gradul 5, de două variabile; suma exponenților din fiecare termen este întotdeauna 5. Polinomul ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$ nu este omogen, deoarece suma exponenților nu este aceeași la toți termenii. Funcția definită de un polinom omogen este întotdeauna o funcție omogenă^⁠(d).

O formă algebrică, sau pur și simplu formă, este o funcție definită printr-un polinom omogen. (Totuși, deoarece unii autori nu fac o deosebire clară între un polinom și funcția asociată acestuia, termenii de polinom omogen și formă sunt uneori considerați sinonimi.) O formă binară este o formă de două variabile. O „formă” este, de asemenea, o funcție definită pe un spațiu vectorial, care poate fi exprimată ca o funcție omogenă a coordonatelor peste orice bază.

Un polinom de gradul 0 este întotdeauna omogen; este pur și simplu un element al corpului sau al inelului coeficienților, numit de obicei „constantă”. O formă de gradul 1 este o formă liniară. (Formele liniare sunt definite numai pentru spațiile vectoriale finit dimensionale, prin urmare trebuie să fie distinse de funcționalele liniare, care sunt definite pentru fiecare spațiu vectorial. O „funcțională liniară” este rar folosită pentru spații vectoriale de dimensiuni finite.) O formă de gradul 2 este o formă pătratică. În geometrie, distanța euclidiană este rădăcina pătrată a unei forme pătratice.

Polinoamele omogene sunt omniprezente în matematică și fizică. (Polinoamele omogene în fizică apar adesea ca o consecință a analizei dimensionale, în care mărimile măsurate trebuie să corespundă fenomenelor din lumea reală.) Ele joacă un rol fundamental în geometria algebrică, ca varietate algebrică proiectivă^⁠(d) este definită ca mulțimea zerourilor comune ale unei mulțimi de polinoame omogene.

Proprietăți

Un polinom omogen definește o funcție omogenă. Aceasta înseamnă că, dacă un polinom P de mai multe variabile este omogen de gradul d, atunci

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

pentru orice ${\displaystyle \lambda }$ din orice corp care conține coeficienții lui P. Invers, dacă relația de mai sus este adevărată pentru un număr infinit de ${\displaystyle \lambda ,}$ atunci polinomul este omogen de gradul d.

În particular, dacă P este omogen, atunci

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0}$

pentru orice ${\displaystyle \lambda .}$ Această proprietate este fundamentală în definirea unei varietăți proiective.

Orice polinom diferit de zero poate fi descompus într-un mod unic ca o sumă de polinoame omogene de diferite grade, care sunt numite componentele omogene ale polinomului.

Fiind dat un inel de polinoame^⁠(d) ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ peste un corp (sau, mai general, un inel K, forma polinoamelor omogene de gradul d formează un spațiu vectorial (sau un modul^⁠(d)), denumit în mod obișnuit ${\displaystyle R_{d}.}$ Descompunerea unică de mai sus înseamnă că ${\displaystyle R}$ este suma directă^⁠(d) a ${\displaystyle R_{d}}$ (suma tuturor numerele întregi nenegative).

Dimensiunea spațiului vectorial ${\displaystyle R_{d}}$ este numărul de monoame diferite de gradul d în n variabile (adică numărul maxim de termeni nenuli într-un polinom omogen de grad d în n variabile). Este egală cu coeficientul binomial

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

Un polinom omogen satisface identitatea lui Euler pentru funcțiile omogene. Adică, dacă P este un polinom omogen de grad d în variabilele ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ el are, oricare ar fi inelul comutativ al coeficienților,

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

unde ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$ este derivata parțială a lui P în funcție de ${\displaystyle x_{i}.}$

Omogenizare

Un polinom neomogen P(x₁, ... , x_n) poate fi omogenizat prin introducerea variabilei adiționale x₀ și definind polinomul omogen, uneori notat ^hP:^[2]

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

unde d este gradul lui P. De exemplu, dacă

${\displaystyle P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

atunci

${\displaystyle ^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

Un polinom omogen poate fi deomogenizat prin adăugarea variabilei suplimentare x₀ = 1. Adică

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

Note

Bibliografie

• en Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal (2005). Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 185 (ed. 2nd). Springer. ISBN 978-0-387-20733-9. 

Legături externe

Portal Matematică

• Materiale media legate de polinom omogen la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Homogeneous Polynomial la MathWorld.