Ecuație de continuitate

Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.

În fizică o ecuație de continuitate sau ecuație de transport este o ecuație care descrie transportul unei mărimi. Este un instrument deosebit de simplu și puternic atunci când este aplicat la o mărime care se conservă, dar poate fi generalizat pentru a se aplica oricărei proprietăți extensive. Deoarece masa, energia, impulsul, sarcina electrică și alte mărimi naturale se conservă în condițiile lor adecvate, folosind ecuații de continuitate pot fi descrise o varietate de fenomene fizice.

Masă

În absența unei surse de masă, pentru un volum material τ {\displaystyle \tau } , masa conținută nu variază în timp, ceea ce înseamnă că

d d t ∫ τ ρ d τ = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\tau }^{}\rho \,d\tau =0}

Dacă se consideră un volum de control oarecare fix τ ∗ {\displaystyle \tau *} , fluxul de masă care traversează suprafața σ ∗ {\displaystyle \sigma *} , ce înconjoară volumul τ ∗ {\displaystyle \tau *} , trebuie să se regăsească în variația masei volumului de control

∫ τ ∗ ∂ ρ ∂ t d τ = ∫ σ ∗ ρ V → n → d σ {\displaystyle \int _{\tau *}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,d\tau =\int _{\sigma *}^{}{\rho }{{\overrightarrow {V}}{\overrightarrow {n}}}\,d\sigma }

sau, ținând seama de relația Gauss-Ostrogradski

∫ τ ∗ ∂ ρ ∂ t d τ − ∫ τ ∗ ∇ ( ρ V → ) d τ = 0 {\displaystyle \int _{\tau *}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,d\tau -\int _{\tau *}^{}{\nabla (\rho }{{\overrightarrow {V}})}\,d\tau =0}

Deoarece nu s-a făcut nici o ipoteză asupra mărimii volumului τ ∗ {\displaystyle \tau *} , se poate face ca acesta să tindă spre zero, adică

∂ ρ ∂ t + ∇ ( ρ V → ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\nabla (\rho }{{\overrightarrow {V}})}=0}

care este ecuația de continuitate valabilă în oricare punct al spațiului fluid.

Tetra-curenți

Conservarea unui curent al unui fluid generalizat, care nu este neapărat un fluid de tip curent electromagnetic, este exprimată compact de operatorul divergență al covariantei Lorentz a unui tetra-curent

J a = ( c ρ , j ) {\displaystyle J^{a}=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}

unde

c este viteza luminii
ρ este densitatea de sarcină
j este densitatea de curent convențională
a denumește dimensiunea spaţio-temporală

astfel încât

∂ a J a = ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j {\displaystyle \partial _{a}J^{a}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} }

atunci

∂ a J a = 0 {\displaystyle \partial _{a}J^{a}=0}

ceea ce conduce la concluzia conservării curentului

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}

Vezi și

  • Operatorul ∇
  • Lege de conservare
  • Echilibrul energetic al apei de suprafață⁠(d)
  • Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)
  • Ecuația lui Schrödinger
  • Curgere incompresibilă
  • Densitate de probabilitate⁠(d)

Note

Portal icon Portal Fizică