Módulo volumétrico

O módulo volumétrico (${\displaystyle K}$), é um parâmetro que descreve a elasticidade volumétrica, ou seja, a tendência de um material em se deformar em todas as direções quando uniformemente carregado em todas as direções (hidrostaticamente). Esse módulo é definido como a razão entre a tensão volumétrica e a deformação volumétrica, e é o inverso da compressibilidade.^[1]

${\displaystyle K=-V{\frac {\partial P}{\partial V}}}$

onde

${\displaystyle K}$ é o Módulo volumétrico, ${\displaystyle P}$ é a pressão, ${\displaystyle V}$ é o volume e ${\displaystyle ~{\frac {\partial P}{\partial V}}}$ é a derivada parcial da pressão em relação ao volume.

Pode-se definir dois módulos volumétricos a partir do parâmetro que é mantido constante durante a variação da pressão com o volume ^[2]. Pela termodinâmica podemos ter uma compressão isotérmica quando a temperatura é mantida constante, ou uma compressão isentrópica quando a entropia é mantida constante durante a variação da pressão com o volume.

Para um gás ideal:

Isotérmica

${\displaystyle K_{T}=-{({\frac {\partial V}{\partial P}})}_{T}=P}$

Isentrópica

${\displaystyle K_{S}=-{({\frac {\partial V}{\partial P}})}_{S}=\gamma P}$

Onde ${\displaystyle \gamma }$ é o coeficiente de expansão adiabática.

Ver também

Referências

Ligações externas

• «Módulos Elásticos: Visão Geral e Métodos de Caracterização» (PDF) 

Fórmulas de conversão
Materiais lineares homogêneos e isotrópicos tem suas propriedades elásticas determinadas unicamente por qualquer dois módulos dentre estes, e assim dados quaisquer dois, qualquer outro dos módulos elásticos pode ser determinado de acordo com estas fórmulas.
	${\displaystyle (K,\,E)}$	${\displaystyle (K,\,\lambda )}$	${\displaystyle (K,\,G)}$	${\displaystyle (K,\,\nu )}$	${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle (G,\,M)}$
${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$
${\displaystyle \lambda =\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$	${\displaystyle M-2G\,}$
${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle G}$
${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle M=\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$	${\displaystyle M}$
A matriz constitutiva (9 por 9, ou 6 por 6 na notação de Voigt) da lei de Hooke (em três dimensões) pode ser parametrizada com somente duas componentes independentes para materiais homogêneos isotrópicos. Qualquer par pode ser escolhido entre os módulos elásticos apresentados. Algumas das possíveis conversões são apresentadas na tabela.
Bibliografia: G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4

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