Diferencial exato

No cálculo com múltiplas variáveis, uma diferencial é dita ser exata (ou perfeita),^[1] em contraste com uma diferencial inexata,^[2] se é de forma ${\displaystyle dQ}$, para alguma função ${\displaystyle Q}$ diferenciável.^[3][4][5]

Interpretação

Trabalhamos em três dimensões, com definições semelhantes fixando em qualquer outro número de dimensões. Em três dimensões, uma forma do tipo

${\displaystyle A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz}$

é chamada de forma diferencial.^[6] Esta forma é chamada exata em um domínio ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ no espaço se existe alguma função escalar ${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$ definida em ${\displaystyle D}$ de tal forma que

${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{z,x}dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}dz,}$   ${\displaystyle dQ=Adx+Bdy+Cdz}$

em todo ${\displaystyle D}$.^[7] Isto é equivalente a dizer que o campo vetorial ${\displaystyle (A,B,C)}$ é um campo vetorial conservativo, com correspondente potencial ${\displaystyle Q}$.^[8][9]

Relações diferenciais parciais

Se três variáveis, ${\displaystyle {\displaystyle x}}$, ${\displaystyle {\displaystyle y}}$ e ${\displaystyle {\displaystyle z}}$ estão ligadas pela condição${\displaystyle {\displaystyle F(x,y,z)={\text{constant}}}}$ para alguma função diferencial ${\displaystyle {\displaystyle F(x,y,z)}}$, então existem os seguintes diferenciais totais^[10]:

${\displaystyle {\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}}$

${\displaystyle {\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}}$

Substituindo a primeira equação pela segunda e reordenando, obtemos:

${\displaystyle {\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}}$

${\displaystyle {\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}}$

${\displaystyle {\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}}$

Como ${\displaystyle {\displaystyle y}}$ e ${\displaystyle {\displaystyle z}}$ são variáveis independentes, ${\displaystyle {\displaystyle dy}}$ e ${\displaystyle {\displaystyle dz}}$ podem ser escolhidos sem restrições. Para que esta última equação se mantenha em geral, os termos entre parênteses devem ser iguais a zero.

Relação de reciprocidade

Estabelecendo o primeiro termo entre parênteses igual a zero:

${\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}}$

Um leve rearranjo dá uma relação de reciprocidade:

${\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}}$

Há mais duas permutações da derivação anterior que dão um total de três relações de reciprocidade entre o estilo x, y e z. As relações de reciprocidade mostram que o inverso de uma derivada parcial é igual a sua recíproca.

Relação cíclica

A relação cíclica também é conhecida como a regra cíclica ou a regra do produto triplo. Definindo o segundo termo entre parênteses igual a zero rendimentos:

${\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}}$

O uso de uma relação de reciprocidade para o estilo de jogo z parcial y parcial frac nesta equação e reordenação dá uma relação cíclica (a regra do produto triplo):

${\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}}$

Se, em vez disso, for utilizada uma relação de reciprocidade para ${\displaystyle {\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}}$ com posterior rearranjo, é obtido um formulário padrão para diferenciação implícita: ${\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}}$

Algumas equações úteis derivadas de diferenciais exatos em duas dimensões

(Veja também as equações termodinâmicas de Bridgman para o uso de diferenciais exatos na teoria das equações termodinâmicas)

Suponha que tenhamos cinco funções de estado ${\displaystyle {\displaystyle z,x,y,u}}$ e ${\displaystyle {\displaystyle v}}$. Suponha que o espaço de estados seja bidimensional e que qualquer uma das cinco quantidades seja exatamente diferencial. Então, pela regra da cadeia

${\displaystyle {\displaystyle (1)~~~~~dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv}}$

mas também pela regra da cadeia:

${\displaystyle {\displaystyle (2)~~~~~dx=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}dv}}$

e

${\displaystyle {\displaystyle (3)~~~~~dy=\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}dv}}$

para que:

${\displaystyle {\displaystyle (4)~~~~~dz=\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}\right]du}}$

${\displaystyle {\displaystyle +\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}\right]dv}}$

o que implica que:

${\displaystyle {\displaystyle (5)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}}}$

Tomando ${\displaystyle {\displaystyle v=y}}$ temos:

${\displaystyle {\displaystyle (6)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{y}}}$

Tomando ${\displaystyle {\displaystyle u=y}}$ temos:

${\displaystyle {\displaystyle (7)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{v}}}$

Tomando ${\displaystyle {\displaystyle u=y},{\displaystyle v=z}}$ temos:

${\displaystyle {\displaystyle (8)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}}}$

usando ${\displaystyle ({\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}}$ dá a regra do produto triplo:

${\displaystyle {\displaystyle (9)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}=-1}}$

Referências

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