Zbiór analityczny

Zbiory analityczne – podzbiory przestrzeni polskiej, które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

Zbiory analityczne były wprowadzone w 1917 przez rosyjskiego matematyka Michaiła Suslina^[1].

Zbiory analityczne w przestrzeniach polskich

Niech ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Dla przestrzeni polskiej ${\displaystyle X}$ definiujemy klasy ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(X)}$ i ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}(X)}$ następująco:

• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(X)}$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że dla pewnego zbioru borelowskiego ${\displaystyle B\subseteq X\times {\mathcal {N}}}$ mamy ${\displaystyle A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},}$
• ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}(X)}$ jest rodziną tych podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle X\setminus A\in \Sigma _{1}^{1}(X).}$

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1},\Pi _{1}^{1}}$ (zamiast ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(X),\Pi _{1}^{1}(X)}$).

Zbiory należące do klasy ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(X)}$ nazywane są analitycznymi podzbiorami przestrzeni ${\displaystyle X}$, a zbiory z klasy ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}(X)}$ są nazywane koanalitycznymi podzbiorami przestrzeni ${\displaystyle X}$. Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości rodzinę zbiorów analitycznych oznacza się przez A, a klasę zbiorów koanalitycznych oznacza się przez CA.

Przykłady

• Każdy borelowski podzbiór przestrzeni polskiej jest analityczny i koanalityczny.
• Dla ciągu${\displaystyle x\in 2^{\mathbb {N} }}$ niech ${\displaystyle R_{x}=\{(n,m)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} :x(2^{n}\cdot (2m+1))=1\}.}$ Tak więc, dla każdego ${\displaystyle x\in 2^{\mathbb {N} },}$ zbiór ${\displaystyle R_{x}}$ jest relacją dwuargumentową na zbiorze liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ Rozważmy zbiór

${\displaystyle \mathbf {WO} =\{x\in 2^{\mathbb {N} }:R_{x}}$ jest dobrym porządkiem na ${\displaystyle \mathbb {N} \}.}$

Wówczas ${\displaystyle \mathbf {WO} }$ jest zbiorem koanalitycznym który nie jest borelowski. (A więc jego dopełnienie ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }\setminus \mathbf {WO} }$ jest przykładem zbioru analitycznego który nie jest borelowski).

Własności

• Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią polską, ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ jest funkcją ciągłą oraz ${\displaystyle A\in \Sigma _{1}^{1}(X),}$ to ${\displaystyle f(A)\in \Sigma _{1}^{1}(Y).}$ W szczególności, każdy ciągły obraz zbioru borelowskiego jest analityczny.
• Przeliczalne sumy i przekroje zbiorów analitycznych (koanalitycznych, odpowiednio) są analityczne (koanalityczne, odpowiednio).
• Nieskończony zbiór analityczny jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum. Co więcej, każdy nieprzeliczalny zbiór analityczny zawiera zbiór doskonały.
• Przy założeniu aksjomatu konstruowalności, istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
• Jeśli ${\displaystyle A,B}$ są rozłącznymi podzbiorami analitycznymi przestrzeni polskiej ${\displaystyle X,}$ to można znaleźć taki zbiór borelowski ${\displaystyle C\subseteq X,}$ że ${\displaystyle A\subseteq C}$ oraz ${\displaystyle C\cap B=\emptyset .}$ W szczególności, jedynymi zbiorami które są jednocześnie analityczne i koanalityczne są zbiory borelowskie.
• Wszystkie zbiory z ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}\cup \Pi _{1}^{1}}$ mają własność Baire’a.
• Wszystkie zbiory z ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(\mathbb {R} )\cup \Pi _{1}^{1}(\mathbb {R} )}$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a.
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}({\mathcal {N}})}$ są zdeterminowane^[2].
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle X,Y}$ są przestrzeniami polskimi i ${\displaystyle A\subseteq X\times Y}$ jest zbiorem koanalitycznym. Wówczas można znaleźć zbiór koanalityczny ${\displaystyle B\subseteq A}$ który jest wykresem funkcji o dziedzinie ${\displaystyle \{x\in X:(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\}.}$

Powyższe twierdzenie przy założeniu że ${\displaystyle A}$ jest zbiorem borelowskim było udowodnione przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego^[3], a w sformułowaniu przedstawionym powyżej udowodnił je Motokiti Kondo^[4].

Zobacz też

• opisowa teoria mnogości
• teoria mnogości
• zbiór borelowski
• zbiór rzutowy

Przypisy