Wzór Picka

Dla wielokąta na rysunku:
W = 39 ,   B = 14 , {\displaystyle W=39,\ B=14,}
ze wzoru Picka pole wielokąta jest równe: P = 39 + 7 − 1 = 45. {\displaystyle P=39+7-1=45.}

Wzór Picka – wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki są punktami kratowymi na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe: P = W + 1 2 B − 1 , {\displaystyle P=W+{\frac {1}{2}}B-1,}

gdzie W {\displaystyle W} oznacza liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a B {\displaystyle B} oznacza liczbę punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta.

Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w 1899. Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez wielomiany Ehrharta. Wzór można też uogólnić na powierzchnie wielościanów.

Uogólnienie dla wielokątów złożonych z trójkątów pierwotnych

Trójkątem pierwotnym jest trójkąt, którego wierzchołki są punktami kratowymi i są to jedyne punkty kratowe. Ze wzoru Picka wynika, że ma on pole 1 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}.}

Rozważmy wielokąt R , {\displaystyle R,} który ma triangulację na trójkąty pierwotne. Oznaczmy przez V {\displaystyle V} liczbę wierzchołków w triangulacji, K {\displaystyle K} liczbę krawędzi triangulacji, K B {\displaystyle K_{B}} liczbę krawędzi brzegowych triangulacji, a S {\displaystyle S} liczbę ścian triangulacji.

Zliczając krawędzie ścian triangulacji na dwa sposoby, otrzymujemy równość 3 S = 2 K − K B {\displaystyle 3S=2K-K_{B}}

S = 2 K − K B − 2 S + 2 V − 2 V = 2 V − K B − 2 ( V − K + S ) = 2 W + B + ( B − K B ) − 2 ( V − K + S ) = 2 W + B − 2 χ ( R ) + χ ( b d R ) , {\displaystyle {\begin{aligned}S&=2K-K_{B}-2S+2V-2V\\[2pt]&=2V-K_{B}-2(V-K+S)\\[2pt]&=2W+B+(B-K_{B})-2(V-K+S)\\[2pt]&=2W+B-2\chi (R)+\chi (\mathrm {bd} \,R),\end{aligned}}}

gdzie χ {\displaystyle \chi } oznacza charakterystykę Eulera, a b d R {\displaystyle \mathrm {bd} \,R} brzeg figury R {\displaystyle R}

P = 1 2 S = W + 1 2 B − χ ( R ) + 1 2 χ ( b d R ) . {\displaystyle P={\frac {1}{2}}S=W+{\frac {1}{2}}B-\chi (R)+{\frac {1}{2}}\chi (\mathrm {bd} \,R).}

Wzór ten jest prawidłowy w szczególności dla wielokątów prostych, ponieważ dla nich charakterystyka Eulera jest równa 1 , {\displaystyle 1,} a charakterystyka brzegu 0. {\displaystyle 0.}

Linki zewnętrzne

  • Tom Davis: Pick’s Theorem. [dostęp 2016-12-11].