Wzór Larmora

Antena Yagi-Uda. Fale radiowe są emitowane z anteny poprzez przyspieszenie elektronów w tejże antenie. W tym koherentnym zjawisku całkowita moc wypromieniowana jest wprost proporcjonalna do kwadratu ilości przyspieszanych elektronów.

Wzór Larmora – wzór określający całkowitą moc wypromieniowaną przez nierelatywistyczny punkt posiadający ładunek elektryczny, kiedy przyspiesza bądź zwalnia. Znajduje zastosowanie w dziedzinie fizyki zwanej elektrodynamiką; nie dotyczy natomiast innego zjawiska nazwanego od tego samego uczonego, precesji Larmora w zjawisku klasycznego rezonansu magnetycznego. Wzór ten został wprowadzony po raz pierwszy przez J.J. Larmora w 1897 roku w kontekście teorii falowej natury światła[1].

Kiedy naładowana cząstka (przykładowo elektron bądź proton) przyspiesza, emituje energię w postaci fali elektromagnetycznej. Dla prędkości, które są małe w stosunku do prędkości światła, całkowitą wypromieniowaną moc określa wzór Larmora:

P = 2 3 q 2 a 2 4 π ε 0 c 3 = q 2 a 2 6 π ε 0 c 3 {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\quad {}} (w jednostkach SI),
P = 2 3 q 2 a 2 c 3 {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}\quad {}} (w jednostkach cgs),

gdzie:

  • a {\displaystyle a} – przyspieszenie cząstki,
  • q {\displaystyle q} – ładunek elektryczny cząsteczki,
  • c {\displaystyle c} – prędkość światła w próżni.

Relatywistyczne uogólnienie jest opisane przez potencjał Liénarda-Wiecherta.

W każdym systemie jednostkowym, moc wypromieniowana przez pojedynczy elektron może zostać wyrażona w dziedzinie promienia i masy elektronu jako:

P = 2 3 m e r e a 2 c . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}.}

Wyprowadzenie

Najpierw należy wprowadzić formułę pola elektrycznego i magnetycznego:

E ( r , t ) = q ( n − β γ 2 ( 1 − β ⋅ n ) 3 R 2 ) r e t + q c ( n × [ ( n − β ) × β ˙ ] ( 1 − β ⋅ n ) 3 R ) r e t {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\mathrm {ret} }+{\frac {q}{c}}\left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\mathrm {ret} }}

oraz

B = n × E , {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,}

gdzie:

  • β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} – prędkość podzielona przez c,
  • β ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}} – przyspieszenie podzielone przez c,
  • n {\displaystyle \mathbf {n} } – wektor jednostkowy o kierunku takim jak kierunek wektora r − r 0 , {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0},}
  • R {\displaystyle R} = r − r 0 {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}
  • r 0 {\displaystyle \mathbf {r} _{0}} – miejsce ładunku,
  • γ = ( 1 − β 2 ) − 1 / 2 . {\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}.}

Wielkości po prawej stronie zależności są określane w czasie opóźnionym o czas dotarcia fali do określonego miejsca równy:

t r = t − R / c . {\displaystyle t_{\text{r}}=t-R/c.}

Po prawej stronie równania jest suma pola elektrycznego związanego z prędkością i przyspieszeniem naładowanej cząstki. Pole prędkości zależy tylko od β , {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }},} a pole przyspieszenia zależy od obu β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} i β ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}} oraz kąta między nimi. Ponieważ pole prędkości jest proporcjonalne do R − 2 , {\displaystyle R^{-2},} więc maleje bardzo szybko wraz ze wzrostem odległości. Z drugiej strony pole przyspieszenia jest proporcjonalne do R − 1 , {\displaystyle R{-1},} co oznacza, że maleje znacznie wolniej ze wzrostem odległości.

Można znaleźć gęstość strumienia energii pola promieniowania, obliczając jego wektor Poyntinga:

S = c 4 π E a × B a , {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},}

gdzie indeksy „a” podkreślają, że bierzemy tylko pole przyspieszenia. Podstawienie do wzoru zależności między polem magnetycznym i elektrycznym przy założeniu, że cząsteczka natychmiast spoczywa w czasie t r , {\displaystyle t_{\text{r}},} w uproszczeniu daje:

S = q 2 4 π c | n × ( n × β ˙ ) R | 2 n . {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .}

Jeśli kąt między przyspieszeniem a wektorem obserwacyjnym oznaczy się przez θ {\displaystyle \theta } i wprowadzi przyspieszenie a = β ˙ c , {\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c,} wtedy moc emitowana na jednostkę kąta bryłowego jest równa:

d P d Ω = q 2 4 π c sin 2 ⁡ ( θ ) a 2 c 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}.}

Całkowitą moc promieniowania można uzyskać poprzez całkowanie tej wartości po wszystkich kątach, daje nam to formułę całkowitą wzoru Larmora:

P = 2 3 q 2 a 2 c 3 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}.}

Przypisy

  1. ↑ LarmorL. J LarmorL., LXIII. On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions, „Philosophical Magazine”, 44, 1897 (5), s. 503–512, DOI: 10.1080/14786449708621095 .

Bibliografia

  • J. Larmor, On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium, „Philosophical Transactions of the Royal Society” 190, (1897) s. 205–300