Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana – twierdzenie określające zależności między kątami i bokami trójkąta.

Twierdzenie

Jeśli a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} są długościami boków trójkąta, a α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność[1]:

a − b a + b = tg ⁡ α − β 2 tg ⁡ α + β 2 . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}

Dowód

Z twierdzenia sinusów wynikają równości:

a = 2 R sin ⁡ α {\displaystyle a=2R\sin \alpha } i b = 2 R sin ⁡ β , {\displaystyle b=2R\sin \beta ,}
a − b a + b = 2 R sin ⁡ α − 2 R sin ⁡ β 2 R sin ⁡ α + 2 R sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2R\sin \alpha -2R\sin \beta }{2R\sin \alpha +2R\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}

Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości tg ⁡ φ = sin ⁡ φ cos ⁡ φ , {\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }},} otrzymujemy

sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 = tg ⁡ α − β 2 tg ⁡ α + β 2 . {\displaystyle {\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}

Twierdzenie tangensów w trygonometrii sferycznej

Dla trójkątów sferycznych obowiązuje analogiczne twierdzenie:

Jeśli a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} są długościami boków trójkąta sferycznego, a α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność:

tg ⁡ a − b 2 tg ⁡ a + b 2 = tg ⁡ α − β 2 tg ⁡ α + β 2 , {\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}},}

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ tangensów twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-09-09] .

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Law of Tangents, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Encyklopedia internetowa (twierdzenie):
  • Britannica: topic/law-of-tangents