Twierdzenie Lévy’ego-Steinitza

Twierdzenie Lévy’ego-Steinitza – wielowymiarowy odpowiednik twierdzenia Riemanna o szeregach rzeczywistych. Naturalnym wydaje się pytanie, czy dla szeregu zespolonego zbieżnego warunkowo ${\displaystyle \sum z_{n}}$ można tak przestawić jego wyrazy, aby nowy szereg był zbieżny do z góry zadanej liczby zespolonej lub rozbieżny. Tak nie jest, co pokazuje przykład szeregu ${\displaystyle \sum \left({\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {(-1)^{n}}{n}}i\right).}$

Twierdzenie

Jeśli ${\displaystyle \sum z_{n}}$ jest szeregiem zespolonym zbieżnym warunkowo, to istnieje prosta na płaszczyźnie zespolonej, taka że każdy jej punkt jest sumą szeregu ${\displaystyle \sum z_{n}}$ przy pewnym przestawieniu jego wyrazów.

Prawdziwe jest również n-wymiarowe uogólnienie powyższego twierdzenia.

Twierdzenie Lévy’ego-Steinitza

Zbiór sum powstałych przez zmianę porządku wyrazów szeregu n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest albo zbiorem pustym, albo przesunięciem pewnej podprzestrzeni liniowej (tzn. dla szeregu ${\displaystyle \sum x_{n},\ x_{n}\in \mathbb {R} ^{n},}$ zbiór jego sum jest postaci ${\displaystyle v+M,}$ gdzie ${\displaystyle v}$ jest pewnym wektorem, a ${\displaystyle M}$ pewną podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).

Pierwszy dowód twierdzenia podał Paul Lévy w 1905 r.^[1] W roku 1913 Ernst Steinitz zauważył, że praca Lévy’ego jest niekompletna i uzupełnił lukę, jak również znalazł zupełnie nowe podejście i przeprowadził własny dowód^[2].

Uwagi

• W przestrzeniach Hilberta twierdzenie nie musi zachodzić. Pierwszy kontrprzykład podał Józef Marcinkiewicz, który był rozwiązaniem problemu z księgi szkockiej^[3].

Przypisy