Twierdzenie Cochrana

Twierdzenie Cochrana – twierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Założenia

Załóżmy, że ${\displaystyle U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~U_{i}^{2}=Q_{1}+\dots +Q_{k},}$

gdzie ${\displaystyle Q_{i}}$ są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych ${\displaystyle U_{i},}$ takimi że

${\displaystyle r_{i}+\dots +r_{k}=n,}$

gdzie ${\displaystyle r_{i}}$ są rzędami ${\displaystyle Q_{i}.}$

Teza

Zmienne ${\displaystyle Q_{i}}$ są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ² z ${\displaystyle r_{i}}$ stopniami swobody.

Przykład

Jeśli ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią ${\displaystyle \mu }$ i odchyleniem standardowym ${\displaystyle \sigma ,}$ wtedy

${\displaystyle U_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}$

ma standardowy rozkład normalny dla każdego ${\displaystyle i.}$

Możemy zapisać:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}+{\overline {X}}-{\overline {X}}-\mu )^{2}=}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}~({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).}$

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}}),}$

natomiast drugi składnik jest sumą ${\displaystyle n}$ identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez ${\displaystyle \sigma ^{2},}$ otrzymujemy:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}~\left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=Q_{1}+Q_{2}.}$

Ranga ${\displaystyle Q_{2}}$ wynosi ${\displaystyle 1}$ (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga ${\displaystyle Q_{1}}$ być z kolei obliczona jako ${\displaystyle n-1.}$

Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że ${\displaystyle Q_{1}}$ i ${\displaystyle Q_{2}}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład ${\displaystyle \chi ^{2}}$ ze stopniami swobody odpowiednio ${\displaystyle n-1}$ i ${\displaystyle 1.}$

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

${\displaystyle ({\overline {X}}-\mu )^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\chi _{1}^{2}.}$

Jako estymatora wariancji ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ używa się często:

${\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum ~\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}.}$

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

${\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\chi _{n-1}^{2},}$

z czego wynika, że wartością oczekiwaną ${\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}}$ jest ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}n}{n-1}}.}$

Zobacz też

• analiza wariancji
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• twierdzenie Fishera