Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda

Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda mówi o sposobie obliczania promienia zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie

Mamy szereg potęgowy ∑ n = 1 ∞ a n ( x − x 0 ) n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n},} który jest zbieżny na przedziale ( x 0 − R , x 0 + R ) . {\displaystyle (x_{0}-R,x_{0}+R).} Liczbę R {\displaystyle R} nazywamy promieniem zbieżności i obliczamy według wzoru:

R = { ∞ , λ = 0 0 , λ = ∞ 1 λ , 0 < λ < ∞ , {\displaystyle R={\begin{cases}\infty ,&\lambda =0\\0,&\lambda =\infty \\{\frac {1}{\lambda }},&0<\lambda <\infty \end{cases}},}

gdzie λ = lim sup n → ∞ | a n | n . {\displaystyle \lambda =\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}.}

Dowód

Niech x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } oraz d x := lim sup n → ∞ | a n ( x − x 0 ) n | n = λ | x − x 0 | . {\displaystyle d_{x}:=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}(x-x_{0})^{n}|}}=\lambda |x-x_{0}|.} Z kryterium Cauchy’ego mamy:

  1. jeżeli d x < 1 {\displaystyle d_{x}<1} to szereg ∑ a n ( x − x 0 ) n {\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}} jest zbieżny bezwzględnie, czyli x ∈ P , {\displaystyle x\in P,}
  2. jeżeli d x > 1 {\displaystyle d_{x}>1} to szereg ∑ a n ( x − x 0 ) n {\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}} jest rozbieżny, czyli x ∉ P . {\displaystyle x\notin P.}

Zauważamy, że d x < 1 ⇔ | x − x 0 | < 1 λ {\displaystyle d_{x}<1\Leftrightarrow |x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}} (o ile wolno dzielić przez λ {\displaystyle \lambda } ).

Jeżeli:

  1. λ = 0 ⇒ ∀ x ∈ R {\displaystyle \lambda =0\Rightarrow \forall _{x\in \mathbb {R} }} d x = 0 , {\displaystyle d_{x}=0,} czyli d x < 1 , x ∈ P , x ∈ R , {\displaystyle d_{x}<1,x\in P,x\in \mathbb {R} ,} stąd P = R , {\displaystyle P=\mathbb {R} ,}
  2. λ = ∞ ⇒ {\displaystyle \lambda =\infty \Rightarrow } dla x ≠ x 0 {\displaystyle x\neq x_{0}} d x = ∞ , {\displaystyle d_{x}=\infty ,} czyli d x > 1 , {\displaystyle d_{x}>1,} stąd P = { x 0 } , R = 0 {\displaystyle P=\{x_{0}\},R=0}
  3. 0 < λ < ∞ {\displaystyle 0<\lambda <\infty } wówczas d x < 1 ⇔ | x − x 0 | < 1 λ . {\displaystyle d_{x}<1\Leftrightarrow |x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}.} Zatem jeżeli | x − x 0 | < 1 λ ⇒ x ∈ P {\displaystyle |x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}\Rightarrow x\in P} oraz | x − x 0 | ⩽ R ⇒ 1 λ ⩽ R . {\displaystyle |x-x_{0}|\leqslant R\Rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\leqslant R.} Zakładamy teraz, że 1 λ < R . {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}<R.} Z definicji kresu górnego ∃ x 1 ∈ P | x 1 − x 0 | > 1 λ . {\displaystyle \exists _{x_{1}\in P}|x_{1}-x_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}.} Wtedy jednak d x > 1 , {\displaystyle d_{x}>1,} co oznacza, że szereg ∑ a n ( x 1 − x 0 ) n {\displaystyle \sum a_{n}(x_{1}-x_{0})^{n}} jest rozbieżny, a to jest sprzeczne z założeniem, iż x 1 ∈ P . {\displaystyle x_{1}\in P.} Tak więc R = 1 λ . {\displaystyle R={\frac {1}{\lambda }}.}

Bibliografia