Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz: Benoît Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru została podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915 roku^[1].

Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się (bez boków), a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy (bez boków), a wobec pozostałych trójkątów czynności się powtarzają. Po każdym powtórzeniu tej operacji z figury zostają usunięte pewne punkty. Punkty, które nie zostaną usunięte, tworzą trójkąt Sierpińskiego^[2].

Fraktal ten można także utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno jego nieparzyste liczby^[3].

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle T}$ będzie trójkątem ABC.

• Dzieląc ${\displaystyle T}$ na cztery mniejsze trójkąty ${\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}}$ i ${\displaystyle S_{0},}$ gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta ${\displaystyle S_{0},}$ traktując ${\displaystyle S}$ jako zbiór otwarty, a trójkąty ${\displaystyle T_{i}}$ za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle T_{1}\cup T_{2}\cup T_{3}.}$ Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np. ${\displaystyle T_{1}\cap T_{2}}$ zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
• Każdy trójkąt ${\displaystyle T_{i}}$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty ${\displaystyle T_{i,1},T_{i,2},T_{i,3}}$ i ${\displaystyle S_{i}}$ w podobny sposób.
• Każdy trójkąt ${\displaystyle T_{i,j}}$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty ${\displaystyle T_{i,j,1},T_{i,j,2},T_{i,j,3}}$ i ${\displaystyle S_{i,j},}$ i tak dalej.

Trójkąt Sierpińskiego ${\displaystyle \Delta _{S}}$ zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru

${\displaystyle S=S_{0}\cup (S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3})\cup (S_{11}\cup \cdots )\cup \cdots }$

tj. ${\displaystyle \Delta _{S}=\Delta _{ABC}\setminus S.}$ Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem domkniętym jako różnica zbioru domkniętego ${\displaystyle \Delta _{ABC}}$ i zbioru otwartego ${\displaystyle S.}$ Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem domkniętym, Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ${\displaystyle \log _{2}3=1{,}585\dots }$

Reprezentacja cyfrowa

Każdy ciąg ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$, gdzie ${\displaystyle a_{i}\in \{1,2,3\}}$, określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze ${\displaystyle T\cap T_{a_{0}}\cap T_{a_{0},a_{1}}\cap \cdots .}$ Odwrotnie, dla każdego punktu ${\displaystyle P}$ można znaleźć taki ciąg określający ten punkt, tzw. reprezentację cyfrową punktu ${\displaystyle P.}$ Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju ${\displaystyle T_{1}\cap T_{2}}$ ma reprezentację ${\displaystyle (1,2,2,2,\dots )}$ i jednocześnie reprezentację ${\displaystyle (2,1,1,1,\dots ).}$

Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC i definiujmy D₀ := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D_n i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D_n+1. Każdy punkt D_n będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D₀, D₁,...}.

Jeśli wybieramy D₀ nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D₀ należy do trójkąta ABC, ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt D_n do tego trójkąta nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D₀, D₁,...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn. obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

Zobacz też

Zobacz galerię związaną z tematem: Trójkąt Sierpińskiego

• dywan Sierpińskiego
• fraktal
• gra w chaos
• kostka Mengera
• piramida Sierpińskiego
• zbiór Cantora

Przypisy

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• ŁukaszŁ. Rajkowski ŁukaszŁ., Trójkąt Sierpińskiego w trójkącie Pascala, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, marzec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-15]  (pol.).
• Trójkąt Sierpińskiego. chamicewicz.com. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-18)]. Wersja interaktywna wraz z kodem źródłowym (Processing)
• Trójkąt Sierpińskiego. krzywicki.pro. [zarchiwizowane z tego adresu (2014-08-08)]. Dynamiczny generator fraktalu

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sierpiński Sieve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Sierpiński gasket (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
• Grant Sanderson, Binary, Hanoi and Sierpinski, kanał 3blue1brown na YouTube, 25 listopada 2016 [dostęp 2021-03-15].