Sygnał harmoniczny

Sygnał harmoniczny (inaczej: sygnał sinusoidalny) to sygnał, którego zmienność określa funkcja sinusoidalna.

Rzeczywisty sygnał harmoniczny

Rzeczywisty sygnał harmoniczny można zapisać w postaci

u ( t ) = A cos ⁡ ( 2 π f 0 t + φ 0 ) , {\displaystyle u(t)=A\cos(2\pi f_{0}t+\varphi _{0}),}

gdzie:

A {\displaystyle A} – amplituda,
f 0 {\displaystyle f_{0}} – częstotliwość,
φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} – faza początkowa, to znaczy faza dla chwili t = 0. {\displaystyle t=0.}

Postać ta jest równoważna innej formie wynikającej z tożsamości trygonometrycznych:

u ( t ) = a cos ⁡ ( 2 π f 0 t ) + b sin ⁡ ( 2 π f 0 t ) , {\displaystyle u(t)=a\cos(2\pi f_{0}t)+b\sin(2\pi f_{0}t),}

gdzie wielkości A, a, b spełniają zależności

A = a 2 + b 2 , {\displaystyle A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}
tg ⁡ ( φ 0 ) = b a {\displaystyle \operatorname {tg} (\varphi _{0})={\frac {b}{a}}}

oraz

a = A cos ⁡ ( φ 0 ) , {\displaystyle a=A\cos(\varphi _{0}),}
b = A sin ⁡ ( φ 0 ) . {\displaystyle b=A\sin(\varphi _{0}).}

Sygnał harmoniczny jest okresowy, przy czym jego okres T {\displaystyle T} wynosi

T = 1 f 0 . {\displaystyle T={\frac {1}{f_{0}}}.}

Dla sygnału harmonicznego definiuje się pojęcie pulsacji ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} jako

ω 0 = 2 π f 0 . {\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}.}

Widmo

Widmo rzeczywistego sygnału harmonicznego zawiera dwa impulsy Diraca umieszczone odpowiednio w punktach ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} oraz − ω 0 {\displaystyle -\omega _{0}} w dziedzinie pulsacji.

Zespolony sygnał harmoniczny

Zespolony sygnał harmoniczny z ( t ) {\displaystyle z(t)} to uogólnienie rzeczywistego sygnału harmonicznego u ( t ) {\displaystyle u(t)} takie, że

u ( t ) = ℜ { z ( t ) } , {\displaystyle u(t)=\Re \{z(t)\},}

najczęściej postaci

z ( t ) = A e j 2 π f 0 t + φ 0 = cos ⁡ ( 2 π f 0 t + φ 0 ) + j sin ⁡ ( 2 π f 0 t + φ 0 ) . {\displaystyle z(t)=Ae^{j2\pi f_{0}t+\varphi _{0}}=\cos(2\pi f_{0}t+\varphi _{0})+j\sin(2\pi f_{0}t+\varphi _{0}).}

Widmo

Widmo zespolonego sygnału harmonicznego o postaci jak wyżej zawiera pojedynczy impuls Diraca umieszczony w punkcie ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} w dziedzinie pulsacji.

Dyskretny sygnał harmoniczny

Dyskretny sygnał harmoniczny to sygnał u ( n ) {\displaystyle u(n)} określony dla dyskretnych wartości argumentu n , {\displaystyle n,} o postaci

u ( n ) = A cos ⁡ ( 2 π f 0 f s n + φ 0 ) , {\displaystyle u(n)=A\cos \left(2\pi {\frac {f_{0}}{f_{s}}}n+\varphi _{0}\right),}

gdzie:

f s {\displaystyle f_{s}} – częstotliwość próbkowania.

Dyskretny sygnał harmoniczny jest okresowy tylko wtedy, gdy jego częstotliwość f 0 {\displaystyle f_{0}} jest całkowitą podwielokrotnością częstotliwości próbkowania f s . {\displaystyle f_{s}.}

Widmo

Widmo dyskretnego sygnału harmonicznego zawiera nieskończony ciąg par impulsów Diraca, powtarzających się w pulsacjach k 2 π f s + ω 0 {\displaystyle k2\pi f_{s}+\omega _{0}} oraz k 2 π f s − ω 0 , {\displaystyle k2\pi f_{s}-\omega _{0},} dla wszystkich całkowitych k . {\displaystyle k.}

Bibliografia

  • Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G., Teoria sygnałów. Wstęp, Wydanie 2, Wydawnictwo Helion, 2006.
  • MarianM. Pasko MarianM., JanuszJ. Walczak JanuszJ., Teoria sygnałów, Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2003, ISBN 83-7335-054-3, OCLC 749228854 .
  • Szabatin J., Podstawy teorii sygnałów, wyd. V, WKiŁ, 2007, ISBN 978-83-206-1331-5.
  • Zieliński Tomasz P., Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydział EAIiE AGH, Kraków 2000.
  • Zieliński Tomasz P., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Wyd. 2 popr., Warszawa 2007, ISBN 978-83-206-1640-8.