Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa

Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).

Założenia

Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:

${\displaystyle ds^{2}=e^{\nu (r)}c^{2}dt^{2}-e^{\lambda (r)}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),}$

gdzie standardowo:

${\displaystyle t}$ – współrzędna czasowa,

${\displaystyle r}$ – radialna,

${\displaystyle \theta }$ i ${\displaystyle \varphi }$ – kątowe (odpowiednio, zenitalna i azymutalna).

Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających, tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie ${\displaystyle p}$ jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ${\displaystyle \rho }$), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ${\displaystyle \nu (r){:}}$

${\displaystyle {\frac {d\nu (r)}{dr}}=-{\frac {2}{P(r)+\rho (r)c^{2}}}{\frac {dP(r)}{dr}},}$

funkcją ${\displaystyle \lambda (r){:}}$

${\displaystyle e^{\lambda (r)}={\frac {1}{(1-2GM(r)/rc^{2})}},}$

a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu ${\displaystyle r}$ a promieniem tej sfery, ${\displaystyle M(0)=0{:}}$

${\displaystyle {\frac {dM(r)}{dr}}=4\pi \rho (r)r^{2}.}$

Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4{\pi }r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}.}$

Równanie TOV jest zatem newtonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).

Warunki brzegowe

Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:

• znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, ${\displaystyle p(R)=0}$ (warunek ten wyznacza współrzędną ${\displaystyle r=R,}$ czyli promień gwiazdy),
• zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:

dla ${\displaystyle r\geqslant R}$ funkcja metryczna ${\displaystyle e^{\nu (r)}=1-2GM/rc^{2},}$ gdzie ${\displaystyle M}$ jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.

Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej

Całkowita masa grawitacyjna ${\displaystyle M}$ gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy), występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy ${\displaystyle R,}$ wyraża się następującym wzorem:

${\displaystyle M=M_{g}(R)=4\pi \int _{0}^{R}\rho (r)r^{2}dr.}$

Pamiętając o tym, że element objętości ${\displaystyle dV}$ pomiędzy sferami o promieniach ${\displaystyle r}$ oraz ${\displaystyle r+dr}$ jest równy

${\displaystyle dV={\frac {4\pi r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}},}$

można definiować dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. Masą właściwą ${\displaystyle M_{p}}$ gwiazdy nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę ${\displaystyle M(r)}$

${\displaystyle M_{p}=M_{p}(R)=\int _{0}^{R}\rho dV=4\pi \int _{0}^{R}{\frac {\rho (r)r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}.}$

Jako że

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}\geqslant 1\implies M_{p}\geqslant M_{g}.}$

Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa

${\displaystyle A_{b}=4\pi \int _{0}^{R}{\frac {n_{b}(r)r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle n_{b}(r)}$ jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm³),

${\displaystyle A_{b}}$ dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 10⁵⁷ cząstek.

Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej ${\displaystyle A_{b}}$ gwiazdy pomnożonej przez masę barionu ${\displaystyle m_{b}\approx }$ m_n:

${\displaystyle M_{b}=m_{b}A_{b}.}$

Zdefiniowane wyżej masy używa się do obliczenia energii wiązania. Różnica

${\displaystyle E_{G}=\left(M_{g}-M_{p}\right)c^{2}}$

jest energią grawitacyjną gwiazdy (energią zmagazynowaną w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy ${\displaystyle dm}$ do nieskończoności). Grawitacyjna energia wiązania to

${\displaystyle BE_{G}=-E_{B}=\left(M_{p}-M_{g}\right)c^{2}.}$

Energia wewnętrzna gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej), to

${\displaystyle E_{I}=\left(M_{p}-M_{b}\right)c^{2},}$

z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną wewnętrzną energią wiązania

${\displaystyle BE_{I}=-E_{I}=\left(M_{b}-M_{p}\right)c^{2}.}$

Całkowita energia wiązania gwiazdy to zatem

${\displaystyle BE=BE_{G}+BE_{I}=\left(M_{b}-M_{g}\right)c^{2}.}$

Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie ${\displaystyle M=1{,}4}$ masy Słońca jest związana energią wiązania ${\displaystyle BE\approx 0{,}1M.}$

Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej

W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. można otrzymać tylko numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ${\displaystyle \rho =\mathrm {const} .}$ Mamy wtedy

${\displaystyle M(r)={\frac {4}{3}}\pi \rho r^{3}.}$

Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {p(r)}{\rho }}={\frac {{\sqrt {1-2GMr^{2}/R^{3}c^{2}}}-{\sqrt {1-2GM/Rc^{2}}}}{3{\sqrt {1-2GM/Rc^{2}}}-{\sqrt {1-2GMr^{2}/R^{3}c^{2}}}}}.}$

Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, ${\displaystyle p_{c}=p(r=0).}$ Warunek ${\displaystyle p_{c}=\infty }$ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:

${\displaystyle {\frac {2GM}{Rc^{2}}}<{\frac {8}{9}}.}$

Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.

Historia

Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym „Physical Review” przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. On Massive Neutron Cores^[2], jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934 pt. Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models^[3] oraz 1939 r. pt. Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid^[4], w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.

Przypisy