Przekątna

Przekątna, dawniej przekątnia – pojęcie geometryczne o dwóch znaczeniach^[1]:

• w geometrii płaskiej (planimetrii): odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta nieleżące na jednym boku tego wielokąta,
• w geometrii trójwymiarowej (stereometrii): odcinek łączący dwa wierzchołki wielościanu nieleżące na jednej ścianie tego wielościanu.

Kombinatoryka przekątnych

Liczba przekątnych w ${\displaystyle n}$-kącie (czyli wielokącie o ${\displaystyle n}$ wierzchołkach) wynosi

${\displaystyle p={\frac {n(n-3)}{2}}.}$

Liczba sposobów, na które n-kąt wypukły może być podzielony nieprzecinającymi się oprócz końców przekątnymi na trójkąty to ${\displaystyle C_{n-2}}$ (za pomocą ${\displaystyle n-3}$ przekątnych), gdzie ${\displaystyle C_{n}}$ to ${\displaystyle n}$-ta liczba Catalana.

Liczba rozłącznych obszarów na które przekątne dzielą ${\displaystyle n}$-kąt wypukły (o ile żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie w jego wnętrzu):

${\displaystyle N={n \choose 4}+{n-1 \choose 2}={\frac {1}{24}}(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12).}$

Początkowe wartości tego ciągu dla ${\displaystyle n=3,4,\dots }$ wynoszą: 1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 (ciąg A006522 w OEIS).

Długości przekątnych

Przekątna prostokąta o bokach długości ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ ma długość

${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Przekątna kwadratu o boku długości ${\displaystyle a}$ ma długość

${\displaystyle d=a~{\sqrt {2}}.}$

Długość dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości ${\displaystyle a}$ wynosi

${\displaystyle d=2a.}$

Długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości ${\displaystyle a}$ wynosi

${\displaystyle d=a~{\sqrt {3}}.}$

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$ ma długość

${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.}$

Przekątna sześcianu o krawędzi długości ${\displaystyle a}$ ma długość

${\displaystyle d=a~{\sqrt {3}}.}$

Zobacz też

• przekątna główna macierzy
• twierdzenie o wolnej przekątnej

Przypisy

Linki zewnętrzne

• JerzyJ. Bednarczuk JerzyJ., Mało przekątnych – duży problem, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, grudzień 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-09]  (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polygon Diagonal, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).