Prawa rachunku zdań

Ten artykuł od 2012-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Ważniejsze prawa rachunku zdań

• prawo tożsamości (każde zdanie implikuje siebie)

${\displaystyle p\Rightarrow p}$

• prawo podwójnego przeczenia (dowolne zdanie równoważne jest podwójnej negacji tego zdania)

${\displaystyle p\Leftrightarrow \lnot \lnot p}$

• prawo przemienności koniunkcji

${\displaystyle (p\land q)\Leftrightarrow (q\land p)}$

• prawo przemienności alternatywy

${\displaystyle (p\lor q)\Leftrightarrow (q\lor p)}$

• prawo łączności koniunkcji

${\displaystyle [(p\land q)\land r]\Leftrightarrow [p\land (q\land r)]}$

• prawo łączności alternatywy

${\displaystyle [(p\lor q)\lor r]\Leftrightarrow [p\lor (q\lor r)]}$

• prawo idempotentności koniunkcji

${\displaystyle p\Leftrightarrow (p\land p)}$

• prawo idempotentności alternatywy

${\displaystyle p\Leftrightarrow (p\lor p)}$

• prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy

${\displaystyle [p\land (q\lor r)]\Leftrightarrow [(p\land q)\lor (p\land r)]}$

• prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

${\displaystyle [p\lor (q\land r)]\Leftrightarrow [(p\lor q)\land (p\lor r)]}$

• prawo wyłączonego środka (z dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jest prawdziwe)

${\displaystyle p\lor \lnot p}$

prawo to jest odpowiednikiem reguły tertium non datur (łac. trzeciej możliwości nie ma)

• prawo sprzeczności, czasem także prawo niesprzeczności (nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie)

${\displaystyle \lnot (p\land \lnot p)}$

• prawa pochłaniania

${\displaystyle p\Rightarrow (p\lor q)}$

${\displaystyle (p\land q)\Rightarrow p}$

inna postać

${\displaystyle [p\land (p\lor q)]\Leftrightarrow p}$

${\displaystyle [p\lor (p\land q)]\Leftrightarrow p}$

• pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji)

${\displaystyle \lnot (p\land q)\Leftrightarrow (\lnot p\lor \lnot q)}$

• drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy)

${\displaystyle \lnot (p\lor q)\Leftrightarrow (\lnot p\land \lnot q)}$

• prawo Claviusa (jeżeli zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe)

${\displaystyle (\lnot p\Rightarrow p)\Rightarrow p}$

• prawo Dunsa Szkota (jeżeli zdanie jest fałszywe, to wynika z niego każde inne zdanie)

${\displaystyle \lnot p\Rightarrow (p\Rightarrow q)}$

• prawo symplifikacji (jeżeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z każdego innego)

${\displaystyle p\Rightarrow (q\Rightarrow p)}$

• prawo sylogizmu, prawo przechodności implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)

${\displaystyle [(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)]\Rightarrow (p\Rightarrow r)}$

• prawa transpozycji

jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego

${\displaystyle (p\Rightarrow q)\Rightarrow (\lnot q\Rightarrow \lnot p)}$

prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus tollendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia)

${\displaystyle [(p\Rightarrow q)\land \lnot q]\Rightarrow \lnot p}$

jeżeli z zaprzeczenia zdania wynika drugie zdanie, to z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze

${\displaystyle (\lnot p\Rightarrow q)\Rightarrow (\lnot q\Rightarrow p)}$

prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy zaprzeczenia)

${\displaystyle [(p\lor q)\land \lnot p]\Rightarrow q}$

jeżeli z jednego zdania wynika zaprzeczenie drugiego, to z drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego

${\displaystyle (p\Rightarrow \lnot q)\Rightarrow (q\Rightarrow \lnot p)}$

prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy potwierdzenia)

${\displaystyle [(\lnot p\lor \lnot q)\land p]\Rightarrow \lnot q}$

• prawo odrywania (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe)

${\displaystyle [(p\Rightarrow q)\land p]\Rightarrow q}$

prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia)

• prawo eliminacji implikacji

${\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot p\lor q)}$

• prawo zaprzeczenia implikacji

${\displaystyle \lnot (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (p\land \lnot q)}$

• prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum)

${\displaystyle [(p\Rightarrow q)\land (p\Rightarrow \lnot q)]\Rightarrow \lnot p}$

• prawo Fregego

${\displaystyle [p\Rightarrow (q\Rightarrow r)]\Rightarrow [(p\Rightarrow q)\Rightarrow (p\Rightarrow r)]}$

Zobacz też

• algebra Boole’a
• reguła opuszczania alternatywy
• reguła opuszczania koniunkcji