Paradoks zbioru wszystkich zbiorów

Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks tzw. „naiwnej” teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej), tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii.

Paradoks jest efektem następującego rozumowania:

Przypuśćmy, że ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ jest zbiorem wszystkich zbiorów i niech ${\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {Z} )}$ oznacza zbiór potęgowy zbioru ${\displaystyle \mathbf {Z} .}$

• Z jednej strony, zbiór ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ jako zbiór wszystkich zbiorów zawiera w sobie także ${\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {Z} ),}$ tzn. ${\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {Z} )\subset \mathbf {Z} .}$
  Stąd moc zbioru ${\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {Z} )}$ jest nie większa od mocy zbioru ${\displaystyle \mathbf {Z} :|\mathrm {P} (\mathbf {Z} )|\leqslant |\mathbf {Z} |.}$
• Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Cantora zbiór ${\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {Z} )}$ ma moc istotnie większą od mocy zbioru ${\displaystyle \mathbf {Z} :|\mathrm {P} (\mathbf {Z} )|>|\mathbf {Z} |.}$

Źródłem tego paradoksu była praktyka naiwnej teorii mnogości polegająca na definiowaniu zbiorów z użyciem formuł logicznych bez zatroszczenia się o istnienie „dziedziny” tej formuły, czyli zbioru, z którego wybieramy elementy spełniające tę formułę. Np. definicja Z={X:1=1} pozornie określa zbiór wszystkiego, w rzeczywistości określa ona klasę właściwą, a nie zbiór.

Podobnie intuicyjna i prawdziwa dla wszystkich zbiorów formuła ${\displaystyle x\notin x}$ (wynikająca zresztą z aksjomatu regularności) pozwala w naiwnej teorii mnogości zdefiniować zbiór ${\displaystyle \{x\colon x\notin x\}.}$ Jednak stwierdzenie, czy jakiś obiekt należy do tego zbioru, prowadzi wprost do paradoksu Russella.

O ile w naiwnej teorii mnogości powyższe rozumowanie prowadzi do niewytłumaczalnej sprzeczności (stąd określenie paradoks), o tyle w aksjomatycznej teorii mnogości jest ścisłym dowodem na nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów.

Zobacz też

• paradoks
• paradoks Russella

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 67–68, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Witold Marciszewski: Logika formalna. Zarys encyklopedyczny. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 175. ISBN 83-01-04998-7.