Paradoks Banacha-Tarskiego

Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – paradoksalne twierdzenie teorii miary sformułowane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku.

Twierdzenie głosi, że trójwymiarową kulę można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich pięć), a następnie używając wyłącznie przesunięć i obrotów można złożyć z tych części dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.

Paradoksalne jest to, że z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami i zachowują objętość brył.

Źródło paradoksu tkwi w tym, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue’a), tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów.

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych^[1].

Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.

W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto^[1] wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania problemu delijskiego:

Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?

Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla zachowując jego kształt sześcianu!

Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Rys historyczny

• 1905: Giuseppe Vitali podaje przykład zbioru niemierzalnego na okręgu jednostkowym, który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu^[2]. (Zobacz sekcja poniżej.)
• 1914: polscy matematycy Stefan Mazurkiewicz i Wacław Sierpiński publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$^[3].
• 1915: Felix Hausdorff publikuje twierdzenie, że po usunięciu przeliczalnie wielu punktów ze sfery jednostkowej można otrzymać zbiór, który jest paradoksalny ze względu na grupę obrotów ${\displaystyle SO_{3}}$^[4].
• 1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku^[5].
• 1991: wrocławski matematyk Janusz Pawlikowski wykazuje, że zakładając aksjomaty Zermela-Fraenkla i twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego^[6].
• 1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki, które mają własność Baire’a^[7], a więc porządnych z topologicznego punktu widzenia.

Wstępne przykłady

• W zasadzie już Galileusz^[8] zauważył, że zbiór liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,5,\dots \}}$ może być podzielony na dwie części, z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych ${\displaystyle P=\{0,2,4,6,\dots \}}$ i jego dopełnienie, czyli zbiór liczb nieparzystych ${\displaystyle N=\{1,3,5,\dots \}.}$ Funkcja ${\displaystyle f_{P}\colon P\to \mathbb {N} \colon k\mapsto k/2}$ jest bijekcją z ${\displaystyle P}$ na ${\displaystyle \mathbb {N} }$ oraz funkcja ${\displaystyle f_{N}\colon N\to \mathbb {N} \colon k\mapsto (k-1)/2}$ jest bijekcją z ${\displaystyle N}$ na ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

• Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.

• Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać, jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór ${\displaystyle O=\{e^{2\pi ri}:r\in \mathbb {R} \}=\{e^{2\pi ri}:r\in [0,1)\}.}$ Określmy na tym zbiorze relację równoważności ${\displaystyle \cong }$ przez warunek

${\displaystyle e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si}}$ wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle r-s}$ jest liczbą wymierną.

Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór ${\displaystyle M\subseteq O,}$ który jest selektorem klas abstrakcji relacji ${\displaystyle \cong .}$ Zatem zbiór ${\displaystyle M}$ spełnia następujące dwa warunki:

(a) ${\displaystyle (\forall s,t\in M)(s\neq t\ \Rightarrow \ s\not \cong t)}$ oraz

(b) ${\displaystyle (\forall s\in O)(\exists t\in M)(s\cong t).}$

Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale ${\displaystyle [0,1)}$ jako sumę ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)=A\cup B}$ dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ jest równoliczny ze zbiorem ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1),}$ a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne ${\displaystyle f_{A}\colon A\to \mathbb {Q} \cap [0,1)}$ i ${\displaystyle f_{B}\colon B\to \mathbb {Q} \cap [0,1).}$ Rozważmy zbiory

${\displaystyle M_{A}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge \ q\in A\}}$ i ${\displaystyle M_{B}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge \ q\in B\}.}$

Wówczas ${\displaystyle O=M_{A}\cup M_{B},}$ ${\displaystyle M_{A}\cap M_{B}=\emptyset }$ oraz funkcje

${\displaystyle \varphi _{A}\colon M_{A}\to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_{A}(q)i}\cdot t}$ i

${\displaystyle \varphi _{B}\colon M_{B}\to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_{B}(q)i}\cdot t}$

są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).

• Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór ${\displaystyle M}$ będzie wybrany jak powyżej. Dla ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} \cap [0,1)}$ połóżmy ${\displaystyle M^{q}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}.}$ Wówczas ${\displaystyle \{M^{q}:q\in \mathbb {Q} \cap [0,1)\}}$ jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu ${\displaystyle O.}$ Przypuśćmy, że ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {Q} \cap [0,1)}$ jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję ${\displaystyle f_{A}\colon A\to \mathbb {Q} \cap [0,1)}$ i zauważmy, że

${\displaystyle O=\bigcup \limits _{q\in A}F_{q}[M^{q}],}$ gdzie ${\displaystyle F_{q}\colon O\to O\colon e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi (r+f_{A}(q)-q)i}}$ jest obrotem o kąt ${\displaystyle (f_{A}(q)-q)\cdot 2\pi .}$

• Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech

${\displaystyle Z=\{a_{0}+a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in \mathbb {N} \ \wedge \ a_{0},\dots ,a_{k}\in \mathbb {N} \},}$

${\displaystyle Z_{0}=\{a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\wedge \ a_{1},\dots ,a_{k}\in \mathbb {N} \},}$

${\displaystyle Z_{+}=\{a_{0}+a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in \mathbb {N} \ \wedge \ a_{0},\dots ,a_{k}\in \mathbb {N} \ \wedge \ a_{0}>0\}.}$

Można łatwo sprawdzić, że ${\displaystyle Z=Z_{0}\cup Z_{+},}$ ${\displaystyle Z_{0}\cap Z_{+}=\emptyset }$ (przypomnijmy, że ${\displaystyle e^{i}}$ jest liczbą przestępną) oraz

${\displaystyle F_{0}[Z_{0}]=Z}$ gdzie ${\displaystyle F_{0}\colon z\mapsto e^{-i}\cdot z}$ jest obrotem, a

${\displaystyle F_{+}[Z_{+}]=Z}$ gdzie ${\displaystyle F_{+}\colon z\mapsto z-1}$ jest przesunięciem.

Rozkłady paradoksalne

Definicje

Przypuśćmy, że grupa ${\displaystyle G}$ działa na zbiorze ${\displaystyle X.}$

• Powiemy, że zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory ${\displaystyle B_{0},\dots ,B_{n},C_{0},\dots ,C_{m}\subseteq A}$ (gdzie ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$) oraz elementy ${\displaystyle g_{0},\dots ,g_{n},h_{0},\dots ,h_{m}}$ grupy ${\displaystyle G,}$ takie że

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{i=0}^{n}g_{i}[B_{i}]}$ oraz ${\displaystyle A=\bigcup \limits _{j=0}^{m}h_{j}[C_{j}].}$

Intuicyjnie, ${\displaystyle A}$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy ${\displaystyle G,}$ jeśli można podzielić zbiór ${\displaystyle A}$ na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru ${\displaystyle A,}$ używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy ${\displaystyle G.}$

• Zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory ${\displaystyle B_{0},B_{1}\dots ,C_{0},C_{1}\ldots \subseteq A}$ oraz elementy ${\displaystyle g_{0},g_{1},\dots ,h_{0},h_{1}\ldots }$ grupy ${\displaystyle G,}$ takie że

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{i=0}^{\infty }g_{i}[B_{i}]}$ oraz ${\displaystyle A=\bigcup \limits _{j=0}^{\infty }h_{j}[C_{j}].}$

• Niech ${\displaystyle A,B\subseteq X.}$ Powiemy, że zbiory ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ są kawałkami ${\displaystyle G}$-równoważne, jeśli można wybrać ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{n}\subseteq A,}$ ${\displaystyle B_{0},B_{1},\dots ,B_{n}\subseteq B,}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ oraz ${\displaystyle g_{0},g_{1},\dots ,g_{n}\in G,}$ tak że

(a) ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset =B_{i}\cap B_{j}}$ dla ${\displaystyle i<j\leqslant n,}$

(b) ${\displaystyle A=\bigcup _{i=0}^{n}A_{i},}$ ${\displaystyle B=\bigcup _{i=0}^{n}B_{i}}$

(c) ${\displaystyle g_{i}(A_{i})=B_{i}}$ dla każdego ${\displaystyle i\leqslant n.}$

Przykłady

• Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów ${\displaystyle SO_{2}}$ okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
• Zbiór ${\displaystyle Z}$ podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.

• Rozważmy grupę wolną ${\displaystyle F_{2}}$ o dwóch generatorach ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi ${\displaystyle g\in F_{2}}$ odpowiada bijekcja ${\displaystyle F_{2}\ni h\mapsto gh\in F_{2}.}$) Dla ${\displaystyle x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}}$ niech ${\displaystyle S(x)}$ będzie zbiorem wszystkich elementów grupy ${\displaystyle F_{2}}$ (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od ${\displaystyle x.}$ Zauważmy, że

${\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})}$ i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz

${\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a)}$ i ${\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b).}$

Zatem ${\displaystyle F_{2}}$ jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy ${\displaystyle F_{2}.}$

Twierdzenia

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

• Przypuśćmy, że

(a) grupa ${\displaystyle G}$ działa na zbiorze ${\displaystyle X}$ w taki sposób że żadne z odwzorowań ${\displaystyle X\ni x\mapsto g(x)\in X}$ nie ma punktów stałych (dla ${\displaystyle g\in G}$),

(b) ${\displaystyle G}$ jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy ${\displaystyle G}$ (przez mnożenie z lewej strony).

Wówczas zbiór ${\displaystyle X}$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy ${\displaystyle G.}$

• Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna ${\displaystyle F_{2}}$ działa na zbiorze ${\displaystyle X}$ w taki sposób, że żadne z odwzorowań ${\displaystyle X\ni x\mapsto g(x)\in X}$ nie ma punktów stałych (dla ${\displaystyle g\in F_{2}}$), to zbiór ${\displaystyle X}$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy ${\displaystyle F_{2}.}$
• Istnieje przeliczalny podzbiór ${\displaystyle D}$ sfery jednostkowej ${\displaystyle S_{2}}$ taki, że zbiór ${\displaystyle S_{2}\setminus D}$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów ${\displaystyle SO_{3}.}$
• Jeśli ${\displaystyle D\subseteq S_{2}}$ jest przeliczalny, to zbiory ${\displaystyle S_{2}}$ i ${\displaystyle S_{2}\setminus D}$ kawałkami ${\displaystyle SO_{3}}$-równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

• Sfera jednostkowa ${\displaystyle S_{2}}$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów ${\displaystyle SO_{3}.}$

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech ${\displaystyle I_{3}}$ będzie grupą izometrii przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

• Każda kula w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy ${\displaystyle I_{3}.}$ Również sama przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
• Jeśli ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ są zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ są kawałkami ${\displaystyle I_{3}}$-równoważne.

Zobacz też

Zobacz multimedia związane z tematem: Paradoks Banacha-Tarskiego

• kwadratura koła Tarskiego
• miara
• zbiór Bernsteina
• zbiór Vitalego

Przypisy

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., O kul rozmnażaniu, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, kwiecień 2017, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Banach-Tarski Paradox, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Artykuł o paradoksie na PlanetMath. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-05-11)]. (ang.).
• Michael Stevens, The Banach–Tarski Paradox, kanał Vsauce na YouTube, 1 sierpnia 2015 [dostęp 2021-03-15]. (ang.)