Operator położenia

Operator położenia – w mechanice kwantowej obserwabla opisująca położenie obiektu kwantowego. Przejście od położenia do operatora położenia jest nazywane pierwszym kwantowaniem.

Notacja Diraca

W notacji Diraca wektor własny operatora położenia ${\displaystyle \mathbf {x} }$ z wartością własną ${\displaystyle x}$ oznacza się ${\displaystyle |x\rangle ,}$ czyli

${\displaystyle \mathbf {x} |x\rangle =x|x\rangle .}$

Stąd działanie operatora położenia na dowolny stan możemy zapisać jako

${\displaystyle \mathbf {x} |\psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\mathbf {x} |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'x'\psi (x')|x'\rangle ,}$

gdzie ${\displaystyle \psi (x')=\langle x'|\psi \rangle }$ jest funkcją falową stanu ${\displaystyle |\psi \rangle }$ w reprezentacji położeniowej.

Reprezentacja położeniowa i pędowa

Z powyższego wzoru otrzymujemy, że działanie operatora składowej ${\displaystyle i}$ położenia ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$ w reprezentacji położeniowej odpowiada po prostu mnożeniu funkcji falowej przez ${\displaystyle x_{i}.}$ Natomiast w reprezentacji pędowej operator składowej ${\displaystyle i}$ położenia ma postać

${\displaystyle {\hat {x}}_{i}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial {p_{i}}}}}$

Wektorowy operator położenia ma postać:

${\displaystyle {\bar {x}}=i\hbar {\overline {\nabla }}_{p}}$

gdzie ${\displaystyle {\overline {\nabla }}}$ nazywany jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu

Ważną cechą kwantowego operatora położenia jest to, że nie komutuje on z operatorem pędu. Operatory te spełniają relację komutacyjną

${\displaystyle [x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}.}$

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności.

Zobacz też

• obserwabla
• operator całkowitej energii (operator Hamiltona)
• operator pędu
• operator momentu pędu
• operator spinu