Niejednorodny proces Poissona

Niejednorodny (niestacjonarny) proces Poissona – liczący proces stochastyczny

Definicja

( N t ) t ≥ 0 {\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}} nazywamy niejednorodnym procesem Poissona z funkcją intensywności λ ( t ) , t ≥ 0 {\displaystyle \lambda (t),t\geq 0} jeśli:

  1. N 0 = 0. {\displaystyle N_{0}=0.}
  2. ( N t ) t ≥ 0 {\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}} ma niezależne przyrosty.
  3. P ( N t + h − N t = 1 ) = λ ( t ) h + o ( h ) . {\displaystyle P(N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda (t)h+o(h).}
  4. P ( N t + h − N t ≥ 2 ) = o ( h ) . {\displaystyle P(N_{t+h}-N_{t}\geq 2)=o(h).}

Gdy λ ( t ) = λ {\displaystyle \lambda (t)=\lambda } to otrzymujemy jednorodny proces Poissona

Funkcja średnia

Definicja. Funkcją średniej niejednorodnego procesu Poissona nazywamy funkcję m ( t ) = ∫ 0 t λ ( s ) d s . {\displaystyle m(t)=\int _{0}^{t}\lambda (s)ds.}

Własności

Można wykazać, że N t + s − N t ∼ P o i s ( m ( s + t ) − m ( t ) ) . {\displaystyle N_{t+s}-N_{t}\sim Pois(m(s+t)-m(t)).} Widać tutaj dlaczego funkcja m nosi nazwę funkcji średniej. Mianowicie N t ∼ P o i s ( m ( t ) ) {\displaystyle N_{t}\sim Pois(m(t))} oraz E ( N t ) = m ( t ) . {\displaystyle E(N_{t})=m(t).}