Liczba Cauchy’ego

Liczba Cauchy’ego, ${\displaystyle \mathrm {Ca} }$ – jedna z bezwymiarowych liczb podobieństwa używanych w mechanice płynów do opisu przepływów ściśliwych. Jej nazwa pochodzi od nazwska francuskiego matematyka Augustina Cauchy. W przypadku gdy ściśliwości płynu nie można zaniedbać, aby zachować podobieństwo dynamiczne siły bezwładności oraz sprężystości muszą być rozpatrywane łącznie. Liczba Cauchy’ego jest więc definiowana jako stosunek wartości tych sił w rozpatrywanym przepływie i może być zapisana jako:

${\displaystyle \mathrm {Ca} ={\frac {\rho v^{2}}{K}},}$

gdzie:

${\displaystyle \rho }$ = gęstość płynu (jednostka SI: kg/m³),

${\displaystyle v}$ = lokalna prędkość płynu (jednostka SI: m/s),

${\displaystyle K}$ = Współczynnik sprężystości objętościowej (jednostka SI: Pa).

Relacja między Liczbą Cauchy’ego i liczbą Macha

W przemianie izentropowej, liczba Cauchy’ego może być wyrażona w powiązaniu z liczbą macha. Izentropowy współczynnik sprężystości objętościowej ${\displaystyle K_{s}=\gamma p,}$ gdzie ${\displaystyle \gamma }$ jest wykładnikiem adiabaty, a ${\displaystyle p}$ jest ciśnieniem płynu.

Przy założeniu że płyn jest gazem doskonałym (czyli podlega równaniu Clapeyrona) otrzymamy:

${\displaystyle K_{s}=\gamma p=\gamma \rho RT=\,\rho a^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle a={\sqrt {\gamma RT}}}$ = prędkość dźwięku (jednostka SI: m/s),

${\displaystyle R}$ = Stała gazowa (jednostka SI: J/(kg K)),

${\displaystyle T}$ = temperatura (jednostka SI: K).

Podstawiając ${\displaystyle K_{s}}$ zamiast ${\displaystyle K}$ w równaniu na ${\displaystyle \mathrm {Ca} ,}$ otrzymamy:

${\displaystyle \mathrm {Ca} ={\frac {v^{2}}{a^{2}}}=M^{2}.}$

Podsumowując, liczba Cauchy’ego równa jest kwadratowi liczby Macha podczas izentropowego przepływu (przemiana izentropowa) gazu doskonałego.

Bibliografia

• B.S. Massey, J. Ward-Smith, Mechanics of Fluids, 7 edycja. Cheltenham: Nelson Thornes, 1998. ISBN 0-7487-4043-0.