Lagranżjan

Ten artykuł od 2008-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a^[1]) – gęstość funkcjonału działania ${\displaystyle S}$ charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Mechanika klasyczna

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:

${\displaystyle L(q(t),{\dot {q}}(t),t)=T(q(t),{\dot {q}}(t),t)-U(q(t),{\dot {q}}(t),t),}$

gdzie:

${\displaystyle T}$ – energia kinetyczna,

${\displaystyle U}$ – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii ${\displaystyle q(t)}$ opisującej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej od czasu. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał ${\displaystyle S}$ nazywany działaniem, obliczony w przestrzeni wszystkich możliwych funkcji ${\displaystyle q(t),}$ jest stacjonarny, czyli nie zmienia swojej wartości przy nieskończenie małej zmianie (wariacji) toru (np. jest tak w otoczeniu ekstremali funkcjonału). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:

${\displaystyle S[q]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,}$

We wzorze tym ${\displaystyle L(q(t),{\dot {q}}(t),t)}$ oznacza lagranżjan, a ${\displaystyle {\dot {q}}}$ oznacza pochodną ${\displaystyle q}$ po czasie.

Teoria pola

W teorii pola lagranżjan jest całką po współrzędnych przestrzennych ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$ z gęstości lagranżjanu ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

${\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}(\varphi (x^{\mu }),\partial _{\mu }\varphi (x^{\mu }),x^{\mu }),}$

gdzie:

• ${\displaystyle x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(x^{0},{\vec {x}})}$ – czterowektor położenia punktu w czasoprzestrzeni,
• ${\displaystyle x^{0}=c\,t}$ – współrzędna czasowa,
• ${\displaystyle \varphi (x^{\mu })}$ – wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni ${\displaystyle x^{\mu },}$
• ${\displaystyle \int d^{3}x\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }dx^{1}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{3},}$
• ${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{3}}}\right)}$ – kowariantny czterowektor pochodnych cząstkowych pola.

Zobacz też

• grawitacyjna całka działania
• hamiltonian
• mnożniki Lagrange’a
• równania Eulera-Lagrange’a

Przypisy