Kwantyfikator egzystencjalny

Kwantyfikator egzystencjalny, kwantyfikator mały, kwantyfikator szczegółowy – kwantyfikator oznaczający, że istnieje takie podstawienie zmiennej, dla którego dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe.

Stosuje się dwie postacie graficzne:

${\displaystyle \exists x:\phi (x)}$ (zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „there exists”)

oraz

${\displaystyle \bigvee _{x}\phi (x).}$

W obu przypadkach czyta się „istnieje takie ${\displaystyle x,}$ dla którego zachodzi ${\displaystyle \phi (x)}$”.

Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:

${\displaystyle \exists x:(x\in \mathbb {A} \land \phi (x))}$

${\displaystyle \bigvee _{x}(x\in \mathbb {A} \land \phi (x))}$

to używa się uproszczonej notacji:

${\displaystyle \exists x\in \mathbb {A} :\phi (x)}$

${\displaystyle \bigvee _{x\in \mathbb {A} }\phi (x)}$

I czyta się „dla pewnego ${\displaystyle x}$ należącego do zbioru ${\displaystyle \mathbb {A} }$ zachodzi ${\displaystyle \phi (x)}$”.

Jeżeli ${\displaystyle X=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów ${\displaystyle \phi (x)}$ to:

${\displaystyle \exists x\in \mathbb {X} :\phi (x)\equiv \phi (x_{0})\lor \phi (x_{1})\lor \cdots \lor \phi (x_{n})}$

Zanegowany kwantyfikator egzystencjalny staje się kwantyfikatorem ogólnym i na odwrót:

${\displaystyle \neg \exists x:\phi (x)=\forall x:\neg \phi (x)}$

${\displaystyle \neg \forall x:\phi (x)=\exists x:\neg \phi (x).}$

Kwantyfikator jednoznaczności

Stosowany bywa również zapis:

${\displaystyle \exists !\,x\in \mathbb {A} :\phi (x)}$

oznaczający „istnieje dokładnie jedno x z A, dla którego zachodzi ${\displaystyle \phi (x)}$”. Jest to kwantyfikator jednoznaczności(inne języki) który może zostać łatwo zredukowany do podstawowych kwantyfikatorów:

${\displaystyle \exists x{\Bigl (}\phi (x)\land \forall y(\phi (y)\Rightarrow y=x){\Bigr )}}$

Zobacz też

• Kwantyfikator ogólny
• lista symboli matematycznych