Krzywizna Gaussa

Trzy powierzchnie o różnej krzywiźnie Gaussa – od lewej do prawej: hiperboloida (ujemna krzywizna Gaussa), walec (zerowa krzywizna Gaussa) oraz sfera (dodatnia krzywizna Gaussa).

Krzywizna Gaussa jest miarą zakrzywienia powierzchni M ⊂ R 3 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}} w punkcie x ∈ R 3 . {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}.}

Definicja

Krzywizną Gaussa powierzchni M ⊂ R 3 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}} w punkcie x ∈ R 3 {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}} nazywamy liczbę K {\displaystyle \mathrm {K} } równą K = κ 1 κ 2 , {\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2},} gdzie κ i {\displaystyle \kappa _{i}} są krzywiznami głównymi rozważanej powierzchni M {\displaystyle M} w punkcie x . {\displaystyle x.}

Krzywizna Gaussa może być wyliczona jako iloraz wyznaczników pierwszej i drugiej formy podstawowej powierzchni: K = det ( I I ) det ( I ) . {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\det(II)}{\det(I)}}.}

Może być również wyliczona za pomocą symboli Christoffela:

K = − 1 E ( ∂ ∂ u Γ 12 2 − ∂ ∂ v Γ 11 2 + Γ 12 1 Γ 11 2 − Γ 11 1 Γ 12 2 + Γ 12 2 Γ 12 2 − Γ 11 2 Γ 22 2 ) {\displaystyle \mathrm {K} =-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}

Twierdzenia

  • Theorema Egregium: Krzywizna Gaussa jest niezmiennikiem lokalnych izometrii.
  • Twierdzenie Gaussa-Bonneta: Całkowita krzywizna Gaussa ∫ M K d S {\displaystyle \int _{M}\mathrm {K} dS} zwartej powierzchni bez brzegu jest równa charakterystyce Eulera powierzchni pomnożonej przez 2 π . {\displaystyle 2\pi .}
Encyklopedie internetowe (krzywizna):
  • Britannica: topic/Gaussian-curvature