Grupa przestrzenna

Grupa przestrzenna – w matematyce, geometrii i krystalografii jest to grupa symetrii. W krystalografii termin ten jest uproszczeniem pełnej nazwy krystalograficzna grupa przestrzenna lub grupa Fiodorowa. Krystalograficzne grupy przestrzenne przedstawiają i opisują symetrie kryształów^[1][2]. Są to nieskończone grupy dyskretne.

W przestrzeni trójwymiarowej istnieje 219 różnych typów grup przestrzennych (230 uwzględniając chiralne). Grupy przestrzenne są badane i występują także w przestrzeniach o różnej liczbie wymiarów. Za przykład mogą posłużyć grupy Bieberbacha^[3].

Rys historyczny

Grupy przestrzenne w przestrzeni dwuwymiarowej były znane od bardzo dawna. Pierwsze grupy przestrzenne dla przestrzeni trójwymiarowej wyliczono pod koniec XIX wieku. W 1891 roku dokonali tego niezależnie Fiodorow (1853-1919) i Schoenflies (1853-1928). W 1894 roku wyliczeń dokonał również Barlow (1845-1934). Pierwsze prace zawierały błędy. Fiodorow i Schoenflies korespondencyjnie wymienili się wyliczeniami. Rezultatem tego była w pełni poprawna lista 230 grup przestrzennych^[4][5][6].

Elementy grup przestrzennych

Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 krystalograficznych grup punktowych z 14 sieciami Bravais’go należących do jednego z 7 układów krystalograficznych. Z tego powodu grupy przestrzenne uwzględniają kombinacje translacji komórki elementarnej i operacji wykonywanych na grupach punktowych.

Notacje grup przestrzennych

Istnieje co najmniej dziewięć sposobów określania grup przestrzennych:

• numeryczna – Międzynarodowa Unia Krystalografii (IUCr) publikuje tabele wszystkich typów grup przestrzennych i przypisuje każdej unikatowy numer od 1 do 230. Grupy przestrzenne tych samych układów krystalograficznych i grup punktowych przydzielone mają kolejne numery.

• międzynarodowa (M, notacja Hermanna–Mauguina) – składa się z dużej litery oznaczającej typ sieci Bravais’go, z liczb oznaczających osie symetrii zwykłe, inwersyjne lub śrubowe oraz z małych liter jako symboli płaszczyzn symetrii i poślizgu. Znając reguły składania elementów symetrii możliwe jest przedstawienie rozmieszczenia elementów symetrii w komórce elementarnej^[7].

• notacja Halla^[8]

• notacja Kreutza-Zaremby – za twórcze elementy symetrii przyjmuje się osie i środek symetrii. W symbolach klas opuszcza się płaszczyzny symetrii, jeżeli wynikają one z iloczynu osi parzystokrotnych i środka symetrii.

• notacja Schoenfliesa – składa się z dużej litery C, D, S, T, O określającej rodzaj grupy obrotowej oraz z dolnych indeksów informujących o krotności głównej osi symetrii (n), rodzaju płaszczyzny symetrii (v, h, d) i o istnieniu środka symetrii (i). Z takich symboli nie można określić typu sieci Bravais’go i wszystkich elementów symetrii grupy^[7].

• symbol Szubnikowa

• notacja orbifold dla dwuwymiarowej przestrzeni i notacja fibrifold dla trójwymiarowej przestrzeni – twory matematyczne wprowadzone przez Conwaya i Thurstona. Niektórym grupom przestrzennym można przyporządkować symbole orbifoldów i fibrifoldów^[9].

• notacja Coxetera – przestrzenna i punktowa grupa symetrii przedstawiona w postaci grup Coxetera.

Klasyfikacja grup przestrzennych

Istnieje co najmniej 10 różnych możliwości klasyfikowania grup przestrzennych w przestrzeni trójwymiarowej. Skatalogowane są w tabeli od postaci najbardziej szerokiej, aż do wąskich klas na samym dole:

Grupa przestrzenna w 3 wymiarach

	Układ krystalograficzny	Grupy punktowe		Grupy przestrzenne
		M	Schoenflies
1	trójskośny (2)	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle C_{1}}$	${\displaystyle P1}$
2		${\displaystyle {\bar {1}}}$	${\displaystyle C_{i}}$	${\displaystyle P{\overline {1}}}$
3–5	jednoskośny (13)	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle P2,P2_{1},C2}$
6–9		${\displaystyle m}$	${\displaystyle C_{s}}$	${\displaystyle Pm,Pc,Cm,Cc}$
10–15		${\displaystyle 2/m}$	${\displaystyle C_{2h}}$	${\displaystyle P2/m,P2_{1}/m,C2/m,P2/c,P2_{1}/c,C2/c}$
16–24	rombowy (59)	${\displaystyle 222}$	${\displaystyle D_{2}}$	${\displaystyle P222,P222_{1},P2_{1}2_{1}2,P2_{1}2_{1}2_{1},C222_{1},C222,F222,I222,I2_{1}2_{1}2_{1}}$
25–46		${\displaystyle mm2}$	${\displaystyle C_{2v}}$	${\displaystyle Pmm2,Pmc2_{1},Pcc2,Pma2,Pca2_{1},Pnc2,Pmn2_{1},Pba2,Pna2_{1},Pnn2,}$ ${\displaystyle Cmm2,Cmc2_{1},Ccc2,Amm2,Aem2,Ama2,Aea2,Fmm2,Fdd2,Imm2,Iba2,Ima2}$
47–74		${\displaystyle mmm}$	${\displaystyle D_{2h}}$	${\displaystyle Pmmm,Pnnn,Pccm,Pban,Pmma,Pnna,}$ ${\displaystyle Pmna,Pcca,Pbam,Pccn,Pbcm,Pnnm,Pmmn,Pbcn,Pbca,Pnma,}$ ${\displaystyle Cmcm,Cmce,Cmmm,Cccm,Cmme,Ccce,Fmmm,Fddd,Immm,Ibam,Ibca,Imma}$
75–80	tetragonalny (68)	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle P4,P4_{1},P4_{2},P4_{3},I4,I4_{1}}$
81–82		${\displaystyle {\bar {4}}}$	${\displaystyle S_{4}}$	${\displaystyle P{\bar {4}},I{\bar {4}}}$
83–88		${\displaystyle 4/m}$	${\displaystyle C_{4h}}$	${\displaystyle P4/m,P4_{2}/m,P4/n,P4_{2}/n,I4/m,I4_{1}/a}$
89–98		${\displaystyle 422}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle P422,P42_{1}2,P4_{1}22,P4_{1}2_{1}2,P4_{2}22,P4_{2}2_{1}2,P4_{3}22,P4_{3}2_{1}2,I422,I4_{1}22}$
99–110		${\displaystyle 4mm}$	${\displaystyle C_{4v}}$	${\displaystyle P4mm,P4bm,P4_{2}cm,P4_{2}nm,P4cc,P4nc,P4_{2}mc,P4_{2}bc,I4mm,I4cm,I4_{1}md,I4_{1}cd}$
111–122		${\displaystyle {\bar {4}}2m}$	${\displaystyle D_{2d}}$	${\displaystyle P{\bar {4}}2m,P{\bar {4}}2c,P{\bar {4}}2_{1}m,P{\bar {4}}2_{1}c,P{\bar {4}}m2,P{\bar {4}}c2,P{\bar {4}}b2,P{\bar {4}}n2,I{\bar {4}}m2,I{\bar {4}}c2,I{\bar {4}}2m,I{\bar {4}}2d}$
123–142		${\displaystyle 4/mmm}$	${\displaystyle D_{4h}}$	${\displaystyle P4/mmm,P4/mcc,P4/nbm,P4/nnc,P4/mbm,P4/mnc,P4/nmm,P4/ncc,}$ ${\displaystyle P4_{2}/mmc,P4_{2}/mcm,P4_{2}/nbc,P4_{2}/nnm,P4_{2}/mbc,P4_{2}/mnm,P4_{2}/nmc,P4_{2}/ncm,}$ ${\displaystyle I4/mmm,I4/mcm,I4_{1}/amd,I4_{1}/acd}$
143–146	trygonalny (25)	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle P3,P3_{1},P3_{2},R3}$
147–148		${\displaystyle {\bar {3}}}$	${\displaystyle S_{6}}$	${\displaystyle P{\bar {3}},R{\bar {3}}}$
149–155		${\displaystyle 32}$	${\displaystyle D_{3}}$	${\displaystyle P312,P321,P3_{1}12,P3_{1}21,P3_{2}12,P3_{2}21,R32}$
156–161		${\displaystyle 3m}$	${\displaystyle C_{3v}}$	${\displaystyle P3m1,P31m,P3c1,P31c,R3m,R3c}$
162–167		${\displaystyle {\bar {3}}m}$	${\displaystyle D_{3d}}$	${\displaystyle P{\bar {3}}1m,P{\bar {3}}1c,P{\bar {3}}m1,P{\bar {3}}c1,R{\bar {3}}m,R{\bar {3}}c}$
168–173	heksagonalny (27)	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle C_{6}}$	${\displaystyle P6,P6_{1},P6_{5},P6_{2},P6_{4},P6_{3}}$
174		${\displaystyle {\bar {6}}}$	${\displaystyle C_{3h}}$	${\displaystyle P{\bar {6}}}$
175–176		${\displaystyle 6/m}$	${\displaystyle C_{6h}}$	${\displaystyle P6/m,P6_{3}/m}$
177–182		${\displaystyle 622}$	${\displaystyle D_{6}}$	${\displaystyle P622,P6_{1}22,P6_{5}22,P6_{2}22,P6_{4}22,P6_{3}22}$
183–186		${\displaystyle 6mm}$	${\displaystyle C_{6v}}$	${\displaystyle P6mm,P6cc,P6_{3}cm,P6_{3}mc}$
187–190		${\displaystyle {\bar {6}}m2}$	${\displaystyle D_{3h}}$	${\displaystyle P{\bar {6}}m2,P{\bar {6}}c2,P{\bar {6}}2m,P{\bar {6}}2c}$
191–194		${\displaystyle 6/mmm}$	${\displaystyle D_{6h}}$	${\displaystyle P6/mmm,P6/mcc,P6_{3}/mcm,P6_{3}/mmc}$
195–199	regularny (36)	${\displaystyle 23}$	${\displaystyle T}$	${\displaystyle P23,F23,I23,P2_{1}3,I2_{1}3}$
200–206		${\displaystyle m{\bar {3}}}$	${\displaystyle T_{h}}$	${\displaystyle Pm{\bar {3}},Pn{\bar {3}},Fm{\bar {3}},Fd{\bar {3}},Im{\bar {3}},Pa{\bar {3}},Ia{\bar {3}}}$
207–214		${\displaystyle 432}$	${\displaystyle O}$	${\displaystyle P432,P4_{2}32,F432,F4_{1}32,I432,P4_{3}32,P4_{1}32,I4_{1}32}$
215–220		${\displaystyle {\bar {4}}3m}$	${\displaystyle T_{d}}$	${\displaystyle P{\bar {4}}3m,F{\bar {4}}3m,I{\bar {4}}3m,P{\bar {4}}3n,F{\bar {4}}3c,I{\bar {4}}3d}$
221–230		${\displaystyle m{\bar {3}}m}$	${\displaystyle O_{h}}$	${\displaystyle Pm{\bar {3}}m,Pn{\bar {3}}n,Pm{\bar {3}}n,Pn{\bar {3}}m,Fm{\bar {3}}m,Fm{\bar {3}}c,Fd{\bar {3}}m,Fd{\bar {3}}c,Im{\bar {3}}m,Ia{\bar {3}}d}$

Wprowadzenie przez IUCr pojęcia płaszczyzny poślizgu e spowodowało w 1996 roku zmianę symboli i rysunków niektórych grup przestrzennych. Zmiana dotyczyła 7 grup w układzie rombowym oraz pięciu dla układów tetragonalnego i regularnego. Rysunki wszystkich wymienionych grup zostały zmienione. Symbole grup zostały zmienione tylko dla 5 przypadków w układzie rombowym (np. Abm2 na Aem2)^[10].

Zobacz też

• Jewgraf Fiodorow
• Arthur Moritz Schoenflies
• Ludwig Bieberbach

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Międzynarodowa Unia Krystalograficzna (UICr) (ang.)
• Grupy punktowe i sieci Bravais’go (ang.)
• Wyszukiwarka grup przestrzennych (ang.)
• Spis grup przestrzennych. cst-www.nrl.navy.mil. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-03-24)]. (ang.)
• Lista wszystkich grup przestrzennych (ang.)
• Spis grup przestrzennych w 3D (ang.)
• Równania symetrii w przestrzeni dwuwymiarowej (ang.)
• Równania symetrii w przestrzeni trójwymiarowej (ang.)