Funkcja unimodalna

Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Uwagi: czy na pewno w definicji jest maksimum? Patrz dyskusja. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja unimodalna – funkcja ciągła, dla której w zadanym przedziale istnieje maksymalnie jedno ekstremum lokalne.

Unimodalność jest wymagana do poprawnego działania wielu metod optymalizacyjnych (np. metody złotego podziału), służących do wyszukiwania lokalnych minimów funkcji.

Definicja

Niech dana będzie funkcja ${\displaystyle f,}$ ciągła w swojej dziedzinie:

${\displaystyle \mathbb {R} \supset [a,b]\ni x\mapsto f(x)\in \mathbb {R} .}$

Funkcja ${\displaystyle f}$ jest unimodalna w przedziale ${\displaystyle [a,b],}$ jeżeli dla dowolnych ${\displaystyle x_{1}\in [a,b]}$ i ${\displaystyle x_{2}\in [a,b]}$ zachodzi:

• Jeśli ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<x^{*},}$ to ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})>f(x^{*}),}$ oraz
• Jeśli ${\displaystyle x^{*}<x_{1}<x_{2},}$ to ${\displaystyle f(x^{*})<f(x_{1})<f(x_{2}),}$

gdzie ${\displaystyle x^{*}}$ stanowi minimum funkcji w przedziale ${\displaystyle [a,b].}$

Innymi słowy funkcja jest unimodalna jeśli istnieje taka wartość ${\displaystyle x^{*}\in [a,b],}$ że

• dla ${\displaystyle x<x^{*}}$ funkcja jest ściśle malejąca,
• dla ${\displaystyle x>x^{*}}$ funkcja jest ściśle rosnąca.

Zobacz też

• metoda złotego podziału

Linki zewnętrzne

• http://optymalizacja.w8.pl/Jednowymiarowa.html