Funkcja theta Ramanujana – uogólnia postać funkcji theta Jacobiego, przy zachowaniu ich ogólnych własności. Przy zapisie zgodnym z funkcją theta Ramanujana iloczyn mieszany Jacobiego przybiera najbardziej przejrzystą formę. Funkcja została nazwana na cześć jej twórcy, hinduskiego matematyka samouka Srinivasy Ramanujana.
Definicja
Funkcję można opisać wzorem:
![{\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57073342c61331c142b75043d978c1866379122)
dla
Tożsamość iloczynu mieszanego Jacobiego przybiera postać
![{\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb37246ca6f764116ff9cbacbbeca69db97c2b5)
Wyrażenie
oznacza symbol q-Pochhammera. Wynikają z tego tożsamości:
![{\displaystyle f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {(-q;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q^{2};q^{2})_{\infty }(q;q^{2})_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b03c598361b9b86ce42a583e37aca86f02872b0)
oraz
![{\displaystyle f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={\frac {(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(q;q^{2})_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdb96fdf94d8de88fca10b2bc9d39b4041b3e13)
oraz
![{\displaystyle f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c397fbde818257a8d958d6e53a94f5acb855bec)
Ostatnia z nich, będąc funkcją Eulera (nie mylić z funkcją φ) jest ściśle związana z funkcją modularną Dedekinda.
Bibliografia
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ramanujan Theta Functions, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).