Funkcja prostokątna

Funkcja prostokątna

Funkcja prostokątna jest zdefiniowana jako[1]

r e c t ( t ) = ⊓ ( t ) = { 0 dla  | t | > 1 2 1 2 dla  | t | = 1 2 1 dla  | t | < 1 2 . {\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{dla }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{dla }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}

Funkcję prostokątną można wyrazić za pomocą funkcji skokowej Heaviside’a u {\displaystyle u} jako

rect ⁡ ( t ) = u ( t + 1 2 ) ⋅ u ( 1 2 − t ) = u ( t + 1 2 ) − u ( t − 1 2 ) . {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-u\left(t-{\frac {1}{2}}\right).}

Transformacja Fouriera

Zachodzi

∫ − ∞ ∞ r e c t ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t = sin ⁡ ( π f ) π f = s i n c ( f ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (f)}

i

1 2 π ∫ − ∞ ∞ r e c t ( t ) ⋅ e − i ω t d t = 1 2 π ⋅ s i n c ( ω 2 π ) , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right),}

gdzie s i n c {\displaystyle \mathrm {sinc} } jest w postaci znormalizowanej.

Relacje te mają zastosowanie w teorii przetwarzania sygnałów i wynika z nich, że realizacja idealnego sygnału prostokątnego wymaga nieskończenie szerokiego pasma w dziedzinie częstotliwości.

Pochodna

Funkcja prostokątna z uwagi na brak ciągłości nie jest różniczkowalna w sensie klasycznym, ani nie jest słabo różniczkowalna. Jednak możliwe jest wyrażenie pochodnej z funkcji prostokątnej w teorii dystrybucji za pomocą delty Diraca

rect ′ ⁡ ( t ) = δ ( t + 1 2 ) − δ ( t − 1 2 ) . {\displaystyle \operatorname {rect} '(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right).}

Statystyka

Funkcja prostokątna ma zastosowanie przy definiowaniu równomiernego rozkładu prawdopodobieństwa.

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Rectangle Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).