Dzielenie przez zero

Dzielenie przez zero – dzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu liczbowego, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Prostym przykładem błędu wynikłego z dzielenia przez zero jest następujący: niech ${\displaystyle a=1}$ i ${\displaystyle b=1,}$ wówczas skoro ${\displaystyle a=b,}$ to również ${\displaystyle a^{2}=b^{2}}$ oraz ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=0,}$ a ze wzoru na różnicę kwadratów jest ${\displaystyle (a-b)(a+b)=0.}$ Dzieląc stronami przez ${\displaystyle a-b,}$ uzyskuje się

${\displaystyle {\frac {(a-b)(a+b)}{a-b}}={\frac {0}{a-b}},}$

co jest równoważne ${\displaystyle a+b=0,}$ a więc ${\displaystyle 1+1=0,}$ skąd ${\displaystyle 2=0.}$ Otrzymana sprzeczność wynika z zastosowania dzielenia przez ${\displaystyle a-b=1-1=0.}$

Wyjaśnienie

W grupie abelowej ${\displaystyle \mathbf {G} }$ z działaniem ‘${\displaystyle \cdot }$’ każde równanie postaci

${\displaystyle a=b\cdot x}$

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tym samym w grupie ${\displaystyle \mathbf {G} }$ zdefiniowana jest funkcja, która każdej parze elementów ${\displaystyle a,b\in \mathbf {G} }$ przypisuje dokładne jeden element oznaczany ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$ Jest to więc działanie odwrotne względem ‘${\displaystyle \cdot }$’ nazywane dzieleniem (w terminologii addytywnej – odejmowaniem).

Jeśli grupa ${\displaystyle \mathbf {G} }$ jest grupą multiplikatywną pewnego ciała ${\displaystyle \mathbf {K} ,}$ to tym samym zdefiniowane jest dzielenie w zbiorze elementów niezerowych ciała ${\displaystyle \mathbf {K} .}$

Próba rozszerzenia dziedziny tego działania na wszystkie elementy ciała prowadzi do prób rozwiązania następujących równań:

• ${\displaystyle 0=b\cdot x,\ \ b\neq 0}$
  Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie ${\displaystyle x=0.}$ Jeśli zamiast ciała mamy pierścień z dzielnikami zera i b jest takim niezerowym dzielnikiem zera, to rozwiązaniem tego równania jest pewien niezerowy dzielnik zera, czyli rozwiązań jest więcej niż jedno.
• ${\displaystyle a=0\cdot x,\ \ a\neq 0}$
  Równanie to jest sprzeczne, bo w dowolnym ciele (ogólniej – w dowolnym pierścieniu) zachodzi ${\displaystyle 0\cdot x=0}$ dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbf {K} .}$
• ${\displaystyle 0=0\cdot x}$
  Równanie to jest nieoznaczone, tzn. jest spełnione dla każdego elementu ciała (ogólniej – każdego elementu pierścienia).

W efekcie w każdym ciele jedynie wyrażenie postaci ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ dla ${\displaystyle b\neq 0}$ ma dokładnie jedną, konkretną wartość, w szczególności ${\displaystyle {\tfrac {0}{b}}=0}$ dla dowolnego ${\displaystyle b\neq 0.}$ Dołączenie warunku ${\displaystyle {\tfrac {0}{b}}=0,}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ do definicji dzielenia nie prowadzi jednak do rozciągnięcia definicji dzielenia na zerowe liczniki, bowiem dziedzina działania dwuargumentowego musi być identyczna dla każdego argumentu.

Natomiast wyrażeniu ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}},}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ nie można przypisać żadnej wartości, a wyrażeniu ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ odpowiadałaby dowolna wartość. I oba przypadki nie spełniają warunków definicji działania.

W testowaniu oprogramowania dzielenie przez zero może zostać wyłapane poprzez zgadywanie błędów.

Oznaczenia

 Osobne artykuły: symbol nieoznaczony, rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych i rozszerzony zbiór liczb zespolonych.

Choć symbol ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ dla dowolnego ${\displaystyle a,}$ również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów czy granic funkcji. Jeśli ${\displaystyle a\neq 0}$ jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest ${\displaystyle \pm \infty }$ (w zależności od znaku tej liczby). Symbol ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji – reguła de l’Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz też

• dzielnik zera

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Michał Szurek, Dlaczego nie dzielimy przez zero?, „Młody Technik”, mlodytechnik.pl [dostęp 2023-11-24].
• Małgorzata Mikołajczyk, Dlaczego nie można dzielić przez zero?, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 5 sierpnia 2015 [dostęp 2023-11-24].
• Nagrania Khan Academy na YouTube [dostęp 2023-11-24]:
  • Dlaczego dzielenie przez zero nie ma sensu?, 24 marca 2013;
  • Dlaczego matematykom nie udało się określić wyniku dzielenia przez zero?, 19 czerwca 2013.
  • Dlaczego wynik dzielenia zera przez zero jest nieokreślony, 19 czerwca 2013.

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Division by Zero, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].