Środek masy

Środek masy ciała lub układu ciał – punkt charakteryzujący rozkład masy w ciele, określony tak, by w opisie ruchu ciała zastąpić je punktem materialnym^[1].

Środek masy, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii.

Wzór

Wzór na wektor wodzący środka masy^[2]:

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {\sum _{k}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{\sum _{k}m_{k}}}.}$

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości ${\displaystyle \rho }$ w przestrzeni za pomocą zależności^[2]:

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {1}{M}}\int \limits _{V}\rho {\vec {r}}dV,}$

${\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho dV,}$

przy czym:

• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ – wektor wodzący środka masy,
• ${\displaystyle M}$ – masa ciała,
• ${\displaystyle V}$ – objętość ciała,
• ${\displaystyle \rho =\rho (x,y,z)}$ – funkcja gęstości ciała.

W przeciwieństwie do środka ciężkości, środek masy nie jest związany z żadnym oddziaływaniem. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy^[1].

Środek geometryczny

Środek geometryczny zdefiniowany jest podobnie jak środek masy, ale nie uwzględnia się gęstości.

Położenie środka geometrycznego układu punktów określa wektor:

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {\sum \limits _{k}^{N}{\vec {r}}_{k}}{N}},}$

gdzie ${\displaystyle N}$ – liczba elementów układu.

Położenie środka geometrycznego bryły jest dane wektorem

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {1}{V}}\int \limits _{V}{\vec {r}}dV.}$

Możliwe jest także obliczanie środka geometrycznego powierzchni dwuwymiarowych lub krzywych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. np. wielościan dualny).

Położenie środka geometrycznego powierzchni jest zdefiniowane wektorem

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {1}{S}}\int \limits _{S}{\vec {r}}dS,}$

a dla krzywych

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {1}{L}}\int \limits _{L}{\vec {r}}dL,}$

gdzie:

• ${\displaystyle S}$ – pole powierzchni,
• ${\displaystyle dS}$ – element powierzchni,
• ${\displaystyle L}$ – długość krzywej,
• ${\displaystyle dL}$ – element krzywej,

a całkowanie przebiega po całej powierzchni lub całej krzywej.

Zobacz też

• środek ciężkości

Przypisy