De lensruimten van Tietze spelen een rol in de topologie, een tak van de wiskunde. Het betreft een klasse van topologische ruimten, meer bepaald topologische variëteiten, aan de hand waarvan men onder meer aantoont dat homotopie-equivalente topologische ruimten niet noodzakelijk homeomorf, d.i. topologisch equivalent, zijn.
Deze ruimten zijn genoemd naar de Oostenrijkse wiskundige Heinrich Franz Friedrich Tietze.
Definitie
We modelleren de driedimensionale sfeer als een deelverzameling van
:
![{\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} ;|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f03cafbdd736fc114fa413ff61aee7bfa53c4d7)
Zijn
natuurlijke getallen,
en veronderstel dat
en
geen gemeenschappelijke delers hebben. Beschouw de afbeelding
De lensruimte
ontstaat als quotiënttopologie van
door systematisch de elementen
met elkaar te identificeren. Explicieter,
is de partitie van de klassen van de equivalentierelatie.
![{\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb {N} :f^{n}(x)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c957e84d418558bd6436b5b6226aa86afabd50ee)
Merk op dat
de identieke transformatie is, en
.
Voorbeelden
is de sfeer
zelf. (Strikt genomen voldoet dit voorbeeld niet aan de voorwaarde
.)
Als
en
, dan beeldt
elk element
op zijn tegengestelde af. De quotiëntruimte
kan dan opgevat worden als de verzameling reële vectorrechten in
, dat wil zeggen de projectieve driedimensionale ruimte
.
Elementaire eigenschappen
Lensruimten zijn compacte driedimensionale topologische variëteiten.
Homotopie-equivalentie
Men kan aantonen dat de fundamentaalgroep van
isomorf is met de cyclische groep
, zodat
en
nooit homotopie-equivalent (en a fortiori niet homeomorf) zijn als
.
De ruimten
en
zijn homotopie-equivalent als en slechts als
of zijn tegengestelde congruent is met een kwadraat modulo
:
![{\displaystyle \exists x,\pm q_{1}q_{2}\equiv x^{2}\ ({\hbox{mod}}\,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13cb22627821876b3dacd6fe1461c41ed6f467e)
De ruimten
en
zijn slechts homeomorf als en slechts als
of zijn tegengestelde, of
of zijn tegengestelde, congruent is met één modulo
:
![{\displaystyle \pm q_{1}q_{2}\equiv 1\ ({\hbox{mod}}\,p)\vee \pm q_{1}\equiv q_{2}\ ({\hbox{mod}}\,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78c65f451f55a41689752fc576f4c7ac2fea785)
Voorbeelden
is niet homotopie-equivalent met
, hoewel beide ruimten dezelfde fundamentaalgroep hebben, want
en
zijn geen kwadraten modulo 5.
is weliswaar homotopie-equivalent met
, maar deze twee ruimten zijn niet homeomorf met elkaar. De homotopie-equivalentie volgt uit het feit dat
modulo 7.
Hogere dimensies
Men kan in bovenstaande definitie
vervangen door
. Voor geschikte natuurlijke getallen
(geen enkele
heeft een deler met
gemeen) definieert men op gelijkaardige wijze als hierboven een quotiënttopologie van de
-sfeer, en noemt haar de Lensruimte
.