貴金属比

数学において、貴金属比（ききんぞくひ、英語: metallic ratio）とは、

1 : n + n 2 + 4 2 {\displaystyle 1:{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}} （n は自然数）

で表される比のことである。

線分比 a : b が第n貴金属比であるとは、

( b − n a ) : a = a : b {\displaystyle (b-na):a=a:b}

が成り立つことを意味する。

n + n 2 + 4 2 {\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}} を貴金属数（ききんぞくすう、英語: metallic number）という。第n貴金属数 Mn は、逆数との差が自然数 n である正の実数、つまり

M n − 1 M n = n {\displaystyle M_{n}-{\frac {1}{M_{n}}}=n} （n は自然数）

で特徴付けられる。

貴金属数

貴金属数
n 第n貴金属数 小数展開 オンライン整数列大辞典 別名
0 1 {\displaystyle 1} 1
1 1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 1.6180339887… A001622 黄金数
2 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} 2.4142135623… A014176 白銀数
3 3 + 13 2 {\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}} 3.3027756377… A098316 青銅数
4 2 + 5 {\displaystyle 2+{\sqrt {5}}} 4.2360679774… A098317
5 5 + 29 2 {\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}} 5.1925824035… A098318
6 3 + 10 {\displaystyle 3+{\sqrt {10}}} 6.1622776601… A176398
7 7 + 53 2 {\displaystyle {\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}} 7.1400549446… A176439
8 4 + 17 {\displaystyle 4+{\sqrt {17}}} 8.1231056256… A176458
9 9 + 85 2 {\displaystyle {\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}} 9.1097722286… A176522
… …
n n + n 2 + 4 2 {\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}

自然数 n に対して、第 n 貴金属数は、二次方程式 x2 − nx − 1 = 0 の正の解であり、

n + n 2 + 4 2 {\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}

である。

貴金属数の累乗

連分数表示

貴金属数の連分数表示は

n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 ⋱ = [ n ; n , n , n , n , … ] {\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}

である。

数列の商の極限

黄金数（第1貴金属数）が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。

数列 {Mk} を、漸化式

M 0 = 0 , M 1 = 1 , M k + 2 = n M k + 1 + M k {\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}

で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、

M k = μ k − ( − μ ) − k μ + μ − 1 = μ k − ( − μ ) − k n 2 + 4 {\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}

で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、

lim k → ∞ M k + 1 M k = μ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }

が成り立つ。

青銅比

青銅比（せいどうひ、英語: bronze ratio）は、

1 : 3 + 13 2 {\displaystyle 1:{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}

の比である。近似値は 1 : 3.303。貴金属比の一つ（第3貴金属比）。

青銅比において

3 + 13 2 = 3.3027756377 ⋯ {\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}=3.3027756377\cdots }

は、二次方程式 x2 − 3x − 1 = 0 の正の解であり、これを青銅数（せいどうすう、英語: bronze number）という。

青銅数を連分数で表すと

3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 ⋱ {\displaystyle 3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}

となる。

関連項目

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貴金属比